【原】初三數(shù)學(xué)-每日精講一題(03)

妍小青 2024-10-06 發(fā)布于上海

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試題原型和模型分析

每日精講一題旨在以課本或者配套練習(xí)冊中的經(jīng)典例題為引，通過分析解法，找到其中隱含的基本圖形，通過“讀題→析題→解題”，從而達(dá)到舉一反三的作用。

今天所講的每日一題是以滬教版24.4(2)和24.4(5)“相似三角形判定”中兩道習(xí)題的變式練習(xí)。

這兩道練習(xí)題是典型的“旋轉(zhuǎn)相似型”基本圖形。

【模型分析】

【問題背景】已知：如圖1，△ABC∽△AEF，且點(diǎn)A與點(diǎn)A對應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)E對應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)F對應(yīng)，求證：△AEB∽△AFC.

【問題變式】已知：如圖1，△AEB∽△AFC，且點(diǎn)A與點(diǎn)A對應(yīng)，點(diǎn)E與點(diǎn)F對應(yīng)、點(diǎn)B與點(diǎn)C對應(yīng)，求證：△ABC∽△AEF.

我們可以發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)相似型基本圖形其本質(zhì)就是一個(gè)圖形繞著其頂點(diǎn)進(jìn)行放縮和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，因此，也可以將旋轉(zhuǎn)相似型基本圖形稱為手拉手基本圖形。在這樣的圖形變換中，往往隱含著兩組相似三角形。

每日一題精講練習(xí)

01 讀題

讀題旨在挖掘已知條件和結(jié)論中的隱含信息，從而建立問題解決的橋梁。

本題的整個(gè)設(shè)計(jì)和解決路徑遵循著“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想。

本題的第(1)問是m=1的特殊情況，可以發(fā)現(xiàn)△CDE∽△CAB，△CAD≌△CBE，通過延長BE與AD相交，利用全等三角形對應(yīng)角相等，借助三角形的內(nèi)角和可以證明得到BE⊥AD，通過對于特殊情況的結(jié)論探索，對于一般化的背景可以類比特殊化背景的解題策略再進(jìn)行進(jìn)一步地解決。

02 析題

析題在讀題的基礎(chǔ)上，通過添加輔助線或者分析圖形特點(diǎn)，找到問題解決的突破口。

由于本題的第(1)問先將BE與AD相交，再利用“全等三角形對應(yīng)角相等以及三角形內(nèi)角和”的性質(zhì)推導(dǎo)出了AD⊥BE。

因此對于第(2)問一般化的情況而言，仍舊可以借鑒特殊化的輔助線添線方法，將證明全等變?yōu)樽C明相似，但是問題解決的路徑還是相同的，進(jìn)而同樣可以證明AD⊥BE。

本題的第(3)問在第(2)問的基礎(chǔ)上，將旋轉(zhuǎn)的位置“特殊化”，即滿足“A、D、E”三點(diǎn)共線。本題的難點(diǎn)就在于畫出符合題意的圖形。由于條件并未強(qiáng)調(diào)旋轉(zhuǎn)方向，因此需要分類討論，借助第(2)問中AD⊥BE的條件，以及通過CB:CA=√3，可以確定這兩個(gè)三角形是含30°角的特殊直角三角形，從而利用勾股定理，借助方程思想，列方程求解。

03 解題

解題既在于完成解題過程，又在于復(fù)盤整個(gè)解題過程，積累問題解決的經(jīng)驗(yàn)。

同類型問題鏈接

思路點(diǎn)撥：本題和例題相仿，同樣是與旋轉(zhuǎn)相似型相關(guān)的典型問題。

本題首先根據(jù)“DE平分△ABC”的面積，根據(jù)DE//AC，可知△BDE≌△BAC，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，可以求出DE的長度。進(jìn)而根據(jù)題意畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，結(jié)合△ABD'≌△CBE'，可以求出∠BE'C=∠D'=45°，并且BE'和BC的長度是可求的，通過過點(diǎn)B作BF⊥CE'，解△BCE'，可以求得CE'的長度。

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思路點(diǎn)撥：本題可以進(jìn)行如下分析：

本題首先需要確定點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡，可知點(diǎn)A在以C為圓心，CA為半徑的圓上，不妨以動(dòng)畫看一下點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑。

同時(shí)，可以以定邊BC為直角邊，構(gòu)造等腰直角三角形△BCE，借助三角形不等式確定BD的取值范圍。如下圖所示，當(dāng)點(diǎn)E恰好在BD上時(shí)，此時(shí)BD取得最大值；當(dāng)點(diǎn)E在BD的反向延長線上時(shí)，此時(shí)BD取得最小值。

本題的難點(diǎn)在于聯(lián)想構(gòu)造以C為直角頂點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)相似型基本圖形，同時(shí)對于特殊位置的圖形運(yùn)動(dòng)的空間想象能力，最后借助三角形不等式確定BD的最值。

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