阿諾德·索末菲爾德（Arnold Sommerfeld）被認(rèn)為是偉大的導(dǎo)師，他是眾多杰出物理學(xué)家的老師，包括沃爾夫?qū)づ堇⒕S爾納·海森堡、漢斯·貝特和彼得·德拜，他們都是諾貝爾獎(jiǎng)得主。此外，他還指導(dǎo)了魯?shù)婪颉て査埂⑼郀柼亍ずＬ乩?、威廉·倫特等一長(zhǎng)串著名科學(xué)家。索末菲爾德在德國(guó)的地位相當(dāng)于英國(guó)的J.J.湯姆遜，湯姆遜是偉大的實(shí)驗(yàn)家，而索末菲爾德則是偉大的理論家。

1913年7月，在發(fā)表了他的三部曲的第一篇論文后，玻爾收到了一封來自索末菲爾德的信，索末菲爾德對(duì)他的原子模型印象深刻，就像盧瑟福一樣，索末菲爾德?lián)牧孔铀枷肱c舊機(jī)械學(xué)的混合似乎起作用了，但仍未能真正理解電子在做什么。索末菲爾德對(duì)解釋光譜學(xué)的觀測(cè)結(jié)果深感興趣，因此玻爾的模型吸引了他的注意，這看起來像是一條通向理解光譜線某些意外行為的有前途的路徑。

1897年，荷蘭物理學(xué)家彼得·塞曼發(fā)現(xiàn)磁場(chǎng)可以影響光譜線，他觀察到某些光譜線的寬度隨磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加而增加。更好的儀器顯示，在磁場(chǎng)的存在下，某些光譜線實(shí)際上會(huì)分裂成多條，這種現(xiàn)象被稱為塞曼效應(yīng)。同樣地，1913年末，德國(guó)的約翰內(nèi)斯·斯塔克和意大利的安東尼奧·盧羅獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了在使用外部電場(chǎng)時(shí)發(fā)生的類似效應(yīng)。光譜線的這種分裂現(xiàn)象令人費(fèi)解，似乎一條光譜線可以被外部電場(chǎng)拉開成多條。大家都在想，這些新線條是從哪里來的？它們是由外部場(chǎng)創(chuàng)造的嗎？還是這些線條本來就是疊加在一起的，外部場(chǎng)只是將它們分開了？斯塔克甚至認(rèn)為氫原子可能有多個(gè)電子。

另一個(gè)意外的光譜線分裂現(xiàn)象是由美國(guó)科學(xué)家阿爾伯特·邁克爾遜和愛德華·莫利在1887年發(fā)現(xiàn)的，也就是他們進(jìn)行著名的邁克爾遜-莫雷實(shí)驗(yàn)以測(cè)量以太的那一年。他們用高精度干涉儀來仔細(xì)研究多種元素的光譜線，發(fā)現(xiàn)了一些非常接近的光譜線組，這些光譜線無法用自巴耳末以來提出的任何經(jīng)驗(yàn)公式解釋。光譜線的這種分裂現(xiàn)象被稱為精細(xì)結(jié)構(gòu)。

在同一年有兩個(gè)邁克爾遜-莫雷實(shí)驗(yàn)，甚至使用了同樣的儀器，而且兩者都對(duì)現(xiàn)代物理的發(fā)展產(chǎn)生了重大影響。第一個(gè)實(shí)驗(yàn)推動(dòng)了狹義相對(duì)論的發(fā)展，而第二個(gè)則促進(jìn)了原子物理學(xué)的發(fā)展。對(duì)于索末菲爾德來說，所有這些意外出現(xiàn)的光譜線似乎表明某種基本物理現(xiàn)象正在原子尺度上發(fā)生，這就是為什么玻爾的原子模型如此具有吸引力的原因。此外，在1914年最后的平靜日子里，玻爾的模型得到了極大的推動(dòng)，解決了恒星光譜的特殊問題，并解釋了弗蘭克-赫茲實(shí)驗(yàn)。

弗蘭克-赫茲實(shí)驗(yàn)是1914年由德國(guó)物理學(xué)家詹姆斯·弗蘭克（James Franck）和古斯塔夫·赫茲（Gustav Hertz）進(jìn)行的一項(xiàng)重要實(shí)驗(yàn)，該實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了玻爾原子模型中電子只能占據(jù)特定離散能級(jí)的假設(shè)，從而為量子理論提供了重要的實(shí)驗(yàn)支持。

1914年夏天，索末菲爾德寫信給保羅·朗之萬，他是德布羅意兄弟的博士導(dǎo)師。索末菲爾德在信中表示，玻爾的模型似乎有很多真理，但他相信該模型必須從根本上被重新解釋。索末菲爾德設(shè)想氫原子中有一個(gè)單一的電子，但在每個(gè)軌道中隱藏了多個(gè)可能的狀態(tài)，這些狀態(tài)只有在外部場(chǎng)的作用下才能顯示出來。

作為一位偉大的理論家，索末菲爾德憑借這一洞見，認(rèn)識(shí)到了對(duì)稱性和簡(jiǎn)并性之間的深刻聯(lián)系，這在經(jīng)典力學(xué)中早已為人所知。“簡(jiǎn)并性”指的是兩個(gè)不同狀態(tài)具有相同能量的現(xiàn)象。就像對(duì)于某些矩陣，兩個(gè)特征向量可以具有相同的特征值，這種現(xiàn)象也被稱為簡(jiǎn)并性。索末菲爾德的想法是相同的，只不過他指的是具有相同能量的電子狀態(tài)，而不是具有相同特征值的特征向量。

但為什么矩陣與軌道電子的能量有關(guān)呢？答案很快就會(huì)揭曉。這種將物理系統(tǒng)的描述解釋為特征值問題的觀察，成為了現(xiàn)代量子力學(xué)的基本公理之一，這是索末菲爾德沒有得到足夠認(rèn)可的貢獻(xiàn)之一。

回到簡(jiǎn)并能量，設(shè)想電子的能量由這樣一個(gè)關(guān)系式給出，

其中n_1和n_2是標(biāo)記電子狀態(tài)的兩個(gè)獨(dú)立的量子數(shù)。請(qǐng)注意，狀態(tài)2和1的能量相同，這是一個(gè)簡(jiǎn)并狀態(tài)對(duì)。它們不同，因?yàn)樗鼈冇胁煌牧孔訑?shù)，但它們具有完全相同的能量，因此無法區(qū)分。請(qǐng)記住，光譜線是由能級(jí)之間的能隙產(chǎn)生的。電子從某個(gè)初始狀態(tài)躍遷到這些兩個(gè)簡(jiǎn)并狀態(tài)中的任意一個(gè)時(shí)，將顯示為一條相同的光譜線。索末菲爾德設(shè)想引入一個(gè)外部場(chǎng)可以破壞系統(tǒng)的一些對(duì)稱性，從而消除簡(jiǎn)并性，并使這兩個(gè)狀態(tài)具有稍微不同的能量，從而產(chǎn)生額外的觀測(cè)到的光譜線。索末菲爾德在當(dāng)時(shí)幾乎沒有人了解尼爾斯·玻爾的情況下，走在了正確的道路上。

1914年7月，索末菲爾德邀請(qǐng)玻爾在他的慕尼黑小組中做一次講座。除了介紹他的原子模型外，玻爾還展示了當(dāng)年早些時(shí)候發(fā)表的一篇后續(xù)論文，

其中描述了一種電子圍繞原子核作完美圓軌道運(yùn)動(dòng)的情況，然后開啟一個(gè)弱電場(chǎng)。由于靜電力作用于電子，軌道將發(fā)生形變，軌道在每個(gè)時(shí)刻都可以看作是一個(gè)以原子核為焦點(diǎn)的橢圓。盡管如此，玻爾并沒有解決這個(gè)問題，正如他在同一篇論文中寫到的，電子運(yùn)動(dòng)的詳細(xì)研究可能非常復(fù)雜。不過，在某些假設(shè)下，玻爾表明，在這種情況下，電子可能具有不同的能級(jí)。

然而，玻爾的想法有一個(gè)問題，它只將能級(jí)分裂為兩個(gè)，稱為雙重態(tài)，而實(shí)驗(yàn)卻表明存在雙重態(tài)和三重態(tài)。

很容易想象，索末菲爾德最初探索橢圓軌道的動(dòng)機(jī)可能來自這個(gè)結(jié)果。然而，考慮到他強(qiáng)大的數(shù)學(xué)背景，我個(gè)人的解釋是，玻爾的新結(jié)果只是證實(shí)了他關(guān)于新電子狀態(tài)隱藏在相同能級(jí)下的懷疑。這種簡(jiǎn)并性可能是由對(duì)稱的圓形軌道引起的，允許更一般的橢圓軌道可以打破這種對(duì)稱性，從而消除簡(jiǎn)并性，并揭示不同的狀態(tài)。但這只是我根據(jù)閱讀他論文得出的猜測(cè)。

無論如何，索末菲爾德想要理解精細(xì)結(jié)構(gòu)的分裂，而這并不需要外部場(chǎng)。在此期間，索末菲爾德經(jīng)常與理論家和實(shí)驗(yàn)家進(jìn)行交流，討論想法，主要是與德國(guó)的弗里德·帕申（因其描述電極間放電電壓的帕申定律和以他命名的光譜線組而聞名）以及卡爾·施瓦西（后來因找到愛因斯坦廣義相對(duì)論方程的第一個(gè)精確解而出名，他的解描述了黑洞）交流。在此之前，施瓦西對(duì)光譜線理論做出了重要貢獻(xiàn)。

1914年，索末菲爾德意識(shí)到，要擴(kuò)展玻爾的原子模型以包括橢圓軌道，需要引入一個(gè)新的量子數(shù)。事實(shí)上，他引入了一個(gè)針對(duì)任何獨(dú)立坐標(biāo)周期系統(tǒng)的量子化規(guī)則，

其中動(dòng)量在相應(yīng)共軛變量上的積分在一個(gè)完整周期中是普朗克常數(shù)的整數(shù)倍，這可以應(yīng)用于系統(tǒng)的每個(gè)自由度，從而完全推廣了玻爾的方法。一個(gè)非常相似的想法在1915年由倫敦國(guó)王學(xué)院的威廉·威爾遜獨(dú)立提出。

今天，這被稱為威爾遜-索末菲爾德量子化規(guī)則。

使用這個(gè)規(guī)則，索末菲爾德確定了他的系統(tǒng)的兩個(gè)相關(guān)自由度：角坐標(biāo)φ和徑向坐標(biāo)r。

有了這個(gè)，量子化規(guī)則變成了這些關(guān)系式，其中n_Φ和n_r是參數(shù)化電子允許狀態(tài)的兩個(gè)量子數(shù)。第一個(gè)積分是顯而易見的，正是玻爾的結(jié)果。

第二個(gè)積分則非常復(fù)雜，

現(xiàn)在我們要在整個(gè)軌道上對(duì)其進(jìn)行積分。為了簡(jiǎn)化符號(hào)，我將定義這些常數(shù)A、B和C來重新寫這個(gè)復(fù)雜的表達(dá)式。

求解這個(gè)積分是一個(gè)困難且非常漫長(zhǎng)的練習(xí)。這就是為什么物理學(xué)生要花幾個(gè)學(xué)期學(xué)習(xí)物理學(xué)家的數(shù)學(xué)方法課程，這些課程就像一個(gè)為期一年的訓(xùn)練營(yíng)，專門用于解決微分方程和計(jì)算像這樣的復(fù)雜積分。通過這種深?yuàn)W的數(shù)學(xué)，積分結(jié)果是這樣的。

復(fù)分析的老手會(huì)認(rèn)出這是柯西留數(shù)定理。將A、B和C的定義重新代入，我們可以施加索末菲爾德的量子化規(guī)則，然后求解能量，得到這個(gè)結(jié)果，

回顧一下玻爾模型中電子的能量進(jìn)行比較，

在這里，我只是簡(jiǎn)單地將常數(shù)的組合重命名為E_0。最終，經(jīng)過如此艱難的工作，結(jié)果似乎令人失望，因?yàn)橥ㄟ^簡(jiǎn)單地重新定義n_Φ和n_r，就得到了玻爾的公式。

表面上看起來似乎沒有發(fā)現(xiàn)任何新東西，但事實(shí)遠(yuǎn)不止眼前所見。通過引入橢圓軌道的額外量子數(shù)，索末菲爾德證實(shí)了他的猜測(cè)，即許多其他電子狀態(tài)隱藏并以相同的光譜線形式出現(xiàn)。

在他的論文中，他寫道，允許橢圓軌道并沒有為系列增加新的光譜線，我們?cè)俅蔚玫搅穗x散的巴耳末系列，但卻有許多生成這些光譜線的可能性。

以氫的某一特定光譜線為例，比如巴耳末系列中的藍(lán)線，

波長(zhǎng)為434納米，頻率為691太赫茲，對(duì)應(yīng)的光譜線能量為2.86電子伏特。

在玻爾的原子模型中，這條光譜線對(duì)應(yīng)于從五能級(jí)到二能級(jí)的躍遷。

而在索末菲爾德的模型中，初始能級(jí)有五個(gè)狀態(tài)，量子數(shù)之和為五，最終能級(jí)有兩個(gè)狀態(tài)，量子數(shù)之和為二。

由于有這么多狀態(tài)，我們發(fā)現(xiàn)有10種可能的躍遷方式可以產(chǎn)生相同頻率的光。這意味著現(xiàn)在有10種不同的方式可以生成相同的光譜線。記住，產(chǎn)生特定光譜線的輻射頻率或波長(zhǎng)由能級(jí)之間的能隙決定。因此，所有這些10個(gè)躍遷都產(chǎn)生完全相同的光譜線。

這就是為什么索末菲爾德寫道，他的橢圓軌道并沒有為系列增加新的光譜線。他的模型與玻爾模型產(chǎn)生相同的結(jié)果，但證明了簡(jiǎn)并態(tài)的存在。索末菲爾德的能量和相應(yīng)的頻率幾乎與玻爾的原子模型的能量相同，唯一的不同是現(xiàn)在的主量子數(shù)是兩個(gè)獨(dú)立量子數(shù)的總和。另一個(gè)區(qū)別是現(xiàn)在電子可以在奇特的軌道上運(yùn)動(dòng)。

使用這種擴(kuò)展的電子能級(jí)版本，他在1915年12月的巴伐利亞科學(xué)院會(huì)議上展示了他對(duì)巴耳末公式的推廣，解釋了電子躍遷產(chǎn)生的光譜線的頻率。顯然，索末菲爾德走在了正確的道路上，所需的只是能級(jí)的額外貢獻(xiàn)來分裂光譜線，以解釋精細(xì)結(jié)構(gòu)。他在研究這一問題的同時(shí)，也在研究他認(rèn)為是量子物理學(xué)之外的一個(gè)干擾——即愛因斯坦的廣義相對(duì)論。

就在一個(gè)月前，1915年11月，愛因斯坦終于完成了他醞釀十年的杰作——新的引力理論，它擴(kuò)展了狹義相對(duì)論和牛頓的引力定律。新理論成功的一個(gè)例子是，它終于解釋了水星軌道的異常行為。水星的橢圓軌道并非固定不變，愛因斯坦的方程預(yù)測(cè)了一個(gè)小的相對(duì)論修正，解釋了水星這個(gè)離太陽最近的行星的橢圓運(yùn)動(dòng)與理論和觀測(cè)之間的差異。

這個(gè)想法能否被應(yīng)用于電子的橢圓軌道呢？當(dāng)然，保持電子軌道的是庫(kù)侖吸引力，而不是引力，但這個(gè)對(duì)水星軌道的小相對(duì)論修正可能激發(fā)了索末菲爾德考慮狹義相對(duì)論對(duì)電子軌道的影響。

索末菲爾德只用了一個(gè)月就提出了他橢圓軌道的精煉版本，他意識(shí)到在玻爾模型的基態(tài)中，電子的運(yùn)動(dòng)速度幾乎達(dá)到了光速的1%。這可以直接從玻爾的模型中得出?；鶓B(tài)中電子的速度由這個(gè)公式給出。

其中v_1為

r_1為

將我們找到的半徑公式除以光速，得到了這個(gè)數(shù)值，對(duì)于氫原子來說，這略低于1%。請(qǐng)注意，這個(gè)量是無單位的，正如普朗克常數(shù)在任何量子計(jì)算中都會(huì)出現(xiàn)一樣，這個(gè)無量綱量也會(huì)出現(xiàn)在所有涉及電子與光相互作用的量子計(jì)算中。如今，它被稱為精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)，通常用α表示，近似為1/137。

但是，這并不是該著名常數(shù)最初的引入方式，精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)很快會(huì)再度出現(xiàn)。

索末菲爾德意識(shí)到，在他新引入的橢圓軌道中，電子在最接近原子核的點(diǎn)上可以移動(dòng)得更快，就像行星在近日點(diǎn)移動(dòng)得更快一樣。此外，根據(jù)上述公式，電子的速度也隨著原子序數(shù)的增加而增大。因此，索末菲爾德決定將電子視為遵循狹義相對(duì)論規(guī)則的粒子。對(duì)于角量子化規(guī)則，結(jié)果與玻爾模型相同；但對(duì)于徑向量子化規(guī)則，情況不同。電子的能量現(xiàn)在由這個(gè)公式給出：

第一個(gè)項(xiàng)是愛因斯坦的自由電子的相對(duì)論能量，第二個(gè)項(xiàng)是庫(kù)侖相互作用勢(shì)能。接下來我們按照之前的步驟，將電子的總動(dòng)量寫為徑向和角動(dòng)量的總和，解出徑向動(dòng)量并在整個(gè)軌道上積分。結(jié)果看起來與我們之前的計(jì)算相似，但請(qǐng)注意，此次常數(shù)A、B和C要復(fù)雜得多。將它們重新代入積分結(jié)果后，我們得到了這個(gè)公式，

現(xiàn)在我們通過設(shè)定這個(gè)公式等于n_r乘以普朗克常數(shù)來施加徑向量子化，

請(qǐng)注意，左側(cè)的整體因子2π可以移到右側(cè)，h變?yōu)?。這是使用威爾遜-索末菲爾德量子化規(guī)則得到的兩個(gè)方程，

接下來的步驟是找到能量，結(jié)合這兩個(gè)關(guān)系式，經(jīng)過一些代數(shù)運(yùn)算，我們得到了這個(gè)表達(dá)式，

現(xiàn)在，這看起來像是一個(gè)與玻爾模型相比完全不同的電子能級(jí)關(guān)系。如果你讀索末菲爾德的論文，會(huì)發(fā)現(xiàn)他用泰勒級(jí)數(shù)而不是這個(gè)閉式形式。

他認(rèn)為所有項(xiàng)都過于復(fù)雜，于是引入了一個(gè)他稱為α的無量綱參數(shù)，作為一個(gè)微擾參數(shù)。

我知道你在想什么——這是索末菲爾德引入精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)的方式嗎？其實(shí)不然，他使用了一個(gè)略微不同的α定義。為了簡(jiǎn)化，我這里使用了真正的精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)。索末菲爾德的版本使得一切更為復(fù)雜。按照索末菲爾德的思路，將能量以α的泰勒級(jí)數(shù)展開，

能級(jí)變成了這些項(xiàng)的總和，其中忽略了高于四次方的α項(xiàng)。第一個(gè)項(xiàng)只是電子的靜止質(zhì)量，第二個(gè)項(xiàng)正是我們?cè)诜窍鄬?duì)論情況下找到的結(jié)果，而第三個(gè)項(xiàng)是相對(duì)論修正。

你還記得在非相對(duì)論情況下，兩個(gè)狀態(tài)2和1的能量相同，因?yàn)樗鼈冎g沒有能量差，所以索末菲爾德得出結(jié)論，不能產(chǎn)生新的光譜線嗎？現(xiàn)在，使用他的相對(duì)論公式，這兩個(gè)狀態(tài)有了不同的能量。這兩者之間微小的能量差意味著它們?cè)谖锢砩峡梢詤^(qū)分。

索末菲爾德發(fā)現(xiàn)，橢圓軌道加上相對(duì)論修正可以分裂光譜線，這就是邁克爾遜-莫雷發(fā)現(xiàn)的精細(xì)結(jié)構(gòu)分裂的原因。

1916年1月，索末菲爾德在巴伐利亞科學(xué)院會(huì)議上展示了他對(duì)玻爾模型的精煉擴(kuò)展。這一模型后來被稱為玻爾-索末菲爾德原子模型。索末菲爾德引入的α定義來自開普勒軌道中兩個(gè)角動(dòng)量的比值。在完成論文后，他給他的助手威廉·倫特審閱，倫特建議修改α的定義。倫特提出的定義正是我們今天所知的形式。

這個(gè)定義允許簡(jiǎn)潔的表達(dá)式，而不再是索末菲爾德使用的冗長(zhǎng)復(fù)雜的公式。因此，是索末菲爾德引入了α，但定義它的是倫特。這就是精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)如何進(jìn)入物理學(xué)的。索末菲爾德采納了助手的建議，并在最終的論文中提到了他。

倫特建議的α定義有一個(gè)好處：它能夠表征基態(tài)中電子的速度，但更重要的是，它表征了電磁相互作用的強(qiáng)度。1/137這個(gè)值也充滿了神秘色彩。

索末菲爾德請(qǐng)求帕申實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證他的模型?，F(xiàn)在他能夠精確預(yù)測(cè)新的光譜線的頻率。帕申嘗試仔細(xì)測(cè)量氫的Hα和Hβ線，并成功拍攝了它們的雙線，但圖像模糊不清。

帕申回信給索末菲爾德，表示還不能接受這一結(jié)果作為確鑿證據(jù)，因?yàn)樾?yīng)可能是實(shí)驗(yàn)偽影，分裂實(shí)在太小了。分裂的大小與α的四次方成正比，使得這個(gè)分裂非常難以觀察。然后，索末菲爾德意識(shí)到他的公式中包含一個(gè)他稱為“放大因子”的項(xiàng)，Z的四次方項(xiàng)可以顯著放大分裂。通過研究氦而不是氫，光譜線可以分裂得大16倍。他請(qǐng)求帕申再次嘗試使用氦線。

1916年5月，索末菲爾德收到了帕申寄來的祝賀信：

我的測(cè)量現(xiàn)在完成了，并且與您的精細(xì)結(jié)構(gòu)完全一致。如果沒有您的理論，這些結(jié)果是不可能發(fā)現(xiàn)的。

索末菲爾德解釋了他對(duì)玻爾模型的擴(kuò)展，包括光譜線如何以及分裂的幅度。帕申描述了他的實(shí)驗(yàn)設(shè)置，以及光譜線及其精細(xì)結(jié)構(gòu)的照片，確認(rèn)了索末菲爾德的預(yù)測(cè)。帕申的測(cè)量使得能夠通過原子光譜確定精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)。索末菲爾德有一個(gè)了不起的想法：這種新測(cè)量可以作為幾個(gè)基本常數(shù)的交叉驗(yàn)證，比較α與獨(dú)立測(cè)量的電子電荷、普朗克常數(shù)和光速，它們都完全一致。

1918年，當(dāng)馬克斯·普朗克獲得諾貝爾獎(jiǎng)時(shí)，他在諾貝爾演講中將索末菲爾德的工作與天文學(xué)中海王星軌道的數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)相提并論。正如在1911年首屆索爾維會(huì)議上提出量子化軌道的阿瑟·愛丁頓所說，帕申的測(cè)量不僅為玻爾和索末菲爾德的思想帶來了輝煌的成功，也為相對(duì)論理論帶來了輝煌的成功。

索末菲爾德的原子模型通常被大多數(shù)教科書忽略，可能是因?yàn)樗啾炔柲Ｐ蛿?shù)學(xué)上更加復(fù)雜，或者因?yàn)樗芸毂涣孔恿W(xué)取代了。就像玻爾模型一樣，索末菲爾德的模型無法解釋包含多個(gè)電子的系統(tǒng)的行為，也無法解釋塞曼效應(yīng)和斯塔克效應(yīng)，而且量子化規(guī)則只適用于周期性運(yùn)動(dòng)。此外，后來發(fā)現(xiàn)，完全理解光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)還需要引入電子自旋。

盡管如此，當(dāng)保羅·狄拉克發(fā)展出電子的完全相對(duì)論量子理論時(shí)，他發(fā)現(xiàn)當(dāng)能量以精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開時(shí)，結(jié)果與索末菲爾德的結(jié)果完全一致。有趣的是，正是索末菲爾德最著名的學(xué)生重新定義了如何發(fā)展新的量子理論。維爾納·海森堡意識(shí)到，我們從未測(cè)量過原子中的電子，我們從未看到它的運(yùn)動(dòng)，我們從未觀察到軌道。我們唯一觀察到的就是光譜線。海森堡提出了現(xiàn)代物理學(xué)中最激進(jìn)的思想之一：停止嘗試描述電子的運(yùn)動(dòng)，新的量子理論應(yīng)該放棄經(jīng)典軌跡，只專注于實(shí)驗(yàn)的觀測(cè)結(jié)果。