【原】引力系統(tǒng)的位力定理

cosmos2062 2024-10-18 發(fā)布于廣東

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利用動(dòng)能的周期平均值引入了位力的概念，得到了位力定理，它反映了總能量、動(dòng)能的周期平均值和引力勢能的周期平均值這三個(gè)物理量之間的關(guān)系。

在討論天體運(yùn)動(dòng)的能量和軌道的問題中，我們曾經(jīng)得到，當(dāng)天體繞太陽做圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的引力勢能是總能量的兩倍： $\begin{equation}\notag E=-\frac{GMm}{2r}=\frac{1}{2}U \end{equation}$ 由此得到，在圓軌道的條件下，天體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能剛好等于總能量的絕對值，或者等于引力勢能的絕對值的一半：

$\begin{equation} K=E-U=-\frac{1}{2}U=-E \end{equation}$

這個(gè)關(guān)系顯示，天體的總能量越低，它的動(dòng)能就越大。

對于橢圓軌道，天體運(yùn)動(dòng)的速率和動(dòng)能不是常量，動(dòng)能與總能量 (是一個(gè)定值) 之間就不再存在這樣簡單的關(guān)系了。但是，在天體運(yùn)動(dòng)的問題中，由于并不存在所謂 “第一推動(dòng)” 因素，因此，天體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能必定是從它的引力勢能中提取出來的。這種情況啟發(fā)我們，動(dòng)能與總能量和勢能之間必定存在某種關(guān)系。

由于天體在運(yùn)動(dòng)的過程中總能量守恒，而動(dòng)能在一個(gè)周期內(nèi)是不斷變化的，因此，想要得到動(dòng)能與總能量之間的關(guān)系，一個(gè)自然的猜測就是，這種關(guān)系只能存在于動(dòng)能的周期平均值與總能量之間： $\begin{equation}\notag \overline{K}=\frac{m}{2}\overline{v^2}=\frac{m}{2T}\underset{\hspace{-2em}0}{\overset{T}\int} v^2{\rm d}t \end{equation}$ 先把上式中的積分算出來，為了書寫方便，省略積分的上下限： $\begin{align}\notag \int v^2{\rm d}t&=\int\vec{v}\cdot\frac{{\rm d}\vec{r}}{{\rm d}t}{\rm d}t=\int\vec{v}\cdot{\rm d}\vec{r} \\\ &=\int{\rm d}\left(\vec{v}\cdot\vec{r}\right)-\int\vec{r}\cdot{\rm d}\vec{v}\notag \end{align}$ 最后一個(gè)等號(hào)的第一項(xiàng)是一個(gè)全微分的定積分，其不定積分的結(jié)果是 $\vec{v}\cdot\vec{r}$ 。考慮到天體經(jīng)過一個(gè)周期后，速度和位置恢復(fù)原值，第一項(xiàng)的積分結(jié)果必定等于零： $\begin{equation}\notag \int{\rm d}\left(\vec{v}\cdot\vec{r}\right)=\vec{v}\cdot\vec{r}{\huge|}_0^T=0 \end{equation}$ 由此得到速度平方的周期平均值： $\begin{align}\notag \int v^2{\rm d}t&=-\frac{1}{m}\int\vec{r}\cdot\vec{f}{\rm d}t\notag \end{align}$ 于是，動(dòng)能的周期平均值 $\begin{equation}\notag \overline{K}=-\frac{1}{2T}\underset{\hspace{-2em}0}{\overset{T}\int}\vec{r}\cdot\vec{f}{\rm d}t \end{equation}$ 在上述表達(dá)式中，

$\begin{equation}\tag 2 V=\frac{1}{2T}\underset{\hspace{-2em}0}{\overset{T}\int}\vec{r}\cdot\vec{f}{\rm d}t \end{equation}$

是一個(gè)新的物理量，被稱為 “均位力積”，簡稱 “位力”。利用萬有引力和引力勢能的表達(dá)式，可以得到位力定義式中的被積函數(shù)：

\begin{align}\notag \vec{f}&=-\frac{GMm}{r^2}\hat{r} \\\ \vec{r}\cdot\vec{f}&=-\frac{GMm}{r}=U\notag \end{align}

這就得到了動(dòng)能的周期平均值：

\begin{equation}\tag 3 \overline{K}=-V=-\frac{1}{2}\overline{U} \end{equation}

它與引力勢能的周期平均值的關(guān)系，正好符合圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)動(dòng)能與引力勢能所滿足的關(guān)系 (1) 式。

由于在天體的運(yùn)動(dòng)過程中總能量守恒，因此，即使動(dòng)能和引力勢能在不斷地發(fā)生變化，但兩者之和卻是恒定不變的 (等于總能量)。利用這個(gè)性質(zhì)，可以得到動(dòng)能和引力勢能兩者的周期平均值之和也正好等于總能量： $\begin{equation}\notag E=\overline{K}+\overline{U} \end{equation}$ 結(jié)合 (3) 式，馬上可以得到：

$\begin{equation}\tag 4 E=V=\frac{1}{2}\overline{U}=-\overline{K} \end{equation}$

上述表達(dá)式反映了動(dòng)能的周期平均值與總能量的關(guān)系，以及與引力勢能的周期平均值的關(guān)系，被稱為位力定理，它是由萬有引力主導(dǎo)的系統(tǒng)具有的一個(gè)重要性質(zhì)。

在早期的教科書中，位力和位力定理各自有一個(gè)不同的名稱，分別被稱為維里和維里定理，維里是 Virial 的音譯。后來，人們注意到，在位力的定義式 (2) 式中，定積分內(nèi)的被積函數(shù)是位置矢量與力的標(biāo)量積。把 Virial 翻譯成位力，意譯與音譯結(jié)合，能更清晰地表達(dá)出這個(gè)物理量的本質(zhì)。不過，即使這樣，仍然會(huì)有不少場合使用維里這個(gè)名稱。