【原】安培環(huán)路定理

cosmos2062 2024-11-25 發(fā)布于廣東

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安培環(huán)路定理是恒定磁場滿足的一條自然法則。

在靜電學(xué)的課程中，我們利用靜電場是保守場這個性質(zhì)，導(dǎo)出了靜電場滿足的一條重要自然法則：靜電場的環(huán)路定理。一個很自然的問題是，恒定磁場是否也遵守一條類似的自然法則呢？

如下左圖所示，設(shè)想有一個電流強(qiáng)度為

I

的載流回路

L_1

。根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，這個載流回路在空間中激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度

\begin{equation}\notag \vec{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\underset{L_1}\int\frac{{\rm d}\vec{s}\times\hat{r}}{r^2} \end{equation}

對這個恒定磁場沿空間中一條簡單的閉合環(huán)路

L

做環(huán)路積分：

$\begin{equation} \underset{L}\int\hspace{-0.3em}\vec{B}\cdot{\rm d}\vec{l}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\hspace{-0.5em}\underset{L}\int\hspace{-0.7em}\underset{L_1}\int\hspace{-0.3em}\frac{({\rm d}\vec{s}\times\hat{r})\cdot{\rm d}\vec{l}}{r^2} \end{equation}$

在沒有給出

L_1

和

L

的具體形狀的情況下，這個積分是無法直接計算的。不過，可以通過對問題的物理圖象進(jìn)行幾何分析，從邏輯上得出這個積分的結(jié)果。

先來看積分符號內(nèi)的表達(dá)式：

$\begin{equation}\tag a \frac{({\rm d}\vec{s}\times\hat{r})\cdot{\rm d}\vec{l}}{r^2} \end{equation}$

從這個表達(dá)式本身當(dāng)然是看不出它的幾何意義的。不過，可以利用矢量計算中的一個重要公式：

\begin{equation}\notag (\vec{a}\times\vec)\cdot\vec{c}=(\vec{c}\times\vec{a})\cdot\vec \end{equation}

將上述表達(dá)式轉(zhuǎn)化成如下形式：

\begin{equation}\tag b \frac{(-{\rm d}\vec{l}\times{\rm d}\vec{s})\cdot\left(-\hat{r}\right)}{r^2} \end{equation}

式子經(jīng)過變形后，會有怎樣的幾何意義呢？

設(shè)想在積分環(huán)路 $L$ 上的某點(diǎn) $P$ ， $L_1$ 在這一點(diǎn)上激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 $\vec{B}$ ，如果 $P$ 點(diǎn)有一個微小的位移 ${\rm d}\vec{l}$ ，則在新的位置處，磁感應(yīng)強(qiáng)度將變?yōu)?nbsp; $\vec{B}'$ 。這就是 (a) 式的物理圖象，從這個物理圖象當(dāng)然無法給出 (a) 式的幾何意義。另一方面，如果設(shè)想 $P$ 點(diǎn)不動，但是 $L_1$ 整體有一個 ( $-{\rm d}\vec{l}$ ) 的位移而到達(dá) $L_1'$ 這個位置，如上右圖所示，則在這個過程中， $P$ 點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度也會從 $\vec{B}$ 變?yōu)?nbsp; $\vec{B}'$ 。這就是 (b) 式的物理圖象，從這個物理圖象很容易看出 (b) 式的幾何意義。

回顧矢量計算中有關(guān)矢量積的幾何意義：當(dāng)兩個矢量作矢量積時，乘積的數(shù)值等于以這兩個矢量為邊的平行四邊形的面積，而乘積的方向則遵從右手法則而與這個平行四邊形垂直。

從圖中可以看出，當(dāng) $L_1$ 經(jīng)過位移到達(dá) $L_1'$ 時， ${\rm d}\vec{s}\times{\rm d}\vec{l}$ 正是該載流回路上的線元 ${\rm d}\vec{s}$ 所掃過的面元的面積，而 (b) 式則是這個面元對 $P$ 點(diǎn)所張的立體角 ${\rm d}\omega$ 。這個式子對 $L_1$ 積分后，自然就是整個 $L_1$ 掃過的環(huán)帶面 $\Sigma$ 對 $P$ 點(diǎn)所張的立體角 $\omega$ ： $\begin{equation}\notag \omega=\underset{L_1}\int\frac{({\rm d}\vec{s}\times\hat{r})\cdot{\rm d}\vec{l}}{r^2} \end{equation}$ 當(dāng) $L_1$ 經(jīng)過位移到達(dá) $L_1'$ 時，以 $L_1$ 為邊界的一個任意曲面 $S$ 將移到新的位置，形成以 $L_1'$ 為邊界的曲面 $S'$ 。于是， $A=S+S'+\Sigma$ 將構(gòu)成一個閉合曲面。由于曲面 $S$ 的形狀可以是任意的，因此，對一個給定的 $P$ 點(diǎn)，總可以選擇這樣的 $S$ 面，使得它移到 $S'$ 后最終構(gòu)成的閉合曲面 $A$ 不包含 $P$ 點(diǎn)。于是， $A$ 對 $P$ 點(diǎn)所張的立體角必定等于零。另一方面，假定 $S$ 對 $P$ 點(diǎn)所張的立體角為 $\Omega$ ， $S'$ 對 $P$ 點(diǎn)所張的立體角為 $\Omega'$ ，則從閉合曲面的視角看，整個閉合曲面 $A$ 對 $P$ 點(diǎn)所張的立體角就是 $\Omega-\Omega'+\omega$ (請思考：這里為什么會出現(xiàn)一個負(fù)號)，根據(jù)上面的分析，這個立體角等于零。于是可以得到 $\begin{equation}\notag \omega=\Omega'-\Omega={\rm d}\Omega \end{equation}$ 把這個結(jié)果代入 (1) 式，得到可以用來計算磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)路積分的式子： $\begin{equation}\notag \underset{L}\int\hspace{-0.3em}\vec{B}\cdot{\rm d}\vec{l}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\hspace{-0.5em}\underset{L}\int{\rm d}\Omega \end{equation}$ 在這個式子中， ${\rm d}\Omega$ 的意義發(fā)生了改變，不再是 “環(huán)帶面” 所張的立體角，而是載流回路對積分路徑上的點(diǎn)所張的立體角隨積分點(diǎn)的移動而發(fā)生的增量。

接下來計算沿 $L$ 的積分。為了得到積分的結(jié)果，需要將積分環(huán)路與載流回路的套連狀況分成兩類。設(shè)想有一個以 $L_1$ 為邊界的曲面 $S$ ，如果 $L$ 不穿過這個面，那么，從某點(diǎn)開始積分，環(huán)繞 $L$ 一周后， $S$ 面對積分路徑上的點(diǎn)所張的立體角恢復(fù)原值，積分結(jié)果等于零；如果積分環(huán)路穿過 $S$ 面，情況就不一樣了。我們知道，當(dāng)一個點(diǎn)無限靠近一個曲面時，曲面對這個點(diǎn)所張的立體角在數(shù)值上將趨于 $2\pi$ ，視這個點(diǎn)在曲面的這一邊或那一邊，立體角會相差一個負(fù)號。于是，當(dāng)積分路徑穿過 $S$ 面時， $S$ 面對交點(diǎn)兩側(cè)的立體角相差 $4\pi$ ，即立體角有一個突變，如下左圖所示。這意味著，當(dāng)沿著積分路徑回到積分的起點(diǎn)時，立體角的數(shù)值增加了 $4\pi$ ，盡管從圖形上看，立體角恢復(fù)到原來的模樣。

通過以上分析，我們得到了磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)路積分： $\begin{equation}\notag \underset{L}\int\hspace{-0.3em}\vec{B}\cdot{\rm d}\vec{l}=\left\{ \begin{aligned} &\mu_0I&L\mbox{圍繞}I \\\ &\hspace{0.5em}0&L\mbox{不繞}I \end{aligned} \right. \end{equation}$ 可以將這個結(jié)果推廣到積分環(huán)路圍繞多個載流回路的情況：