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無限長直電流的磁場

 cosmos2062 2024-12-02 發(fā)布于廣東

利用安培環(huán)路定理求解一根無限長載流直導(dǎo)線激發(fā)的磁感應(yīng)強度,所得到的結(jié)果與使用對畢奧—薩伐爾定律直接求積分的方法得到的結(jié)果一致。

通過分析 “對載流回路激發(fā)的磁場做環(huán)路積分” 這個問題的物理圖象,我們得到了恒定磁場遵守的一條自然法則,安培環(huán)路定理。這個自然規(guī)律告訴我們,恒定磁場沿一條閉合曲線的環(huán)路積分,只取決于該閉合曲線所環(huán)繞的電流強度的代數(shù)和,與閉合曲線外圍的電流強度無關(guān):在上面的公式中,積分符號上的圈圈代表積分是沿著一條閉合曲線進行的。原則上說,這個圈圈只是一個象征性的符號,寫或者不寫,并不影響問題的本質(zhì)。不過,習(xí)慣上都會寫上這個圈圈,這樣對理解問題會有幫助。

作為一條自然規(guī)律,除闡明了恒定磁場的物理本質(zhì)外,安培環(huán)路定理還向我們提供了一種求解電流系統(tǒng)激發(fā)磁場的簡易方法。對于具有某種對稱性分布的電流系統(tǒng),利用安培環(huán)路定理可以輕而易舉地求出它激發(fā)的磁場的空間分布。

為了利用安培環(huán)路定理求解一個電流系統(tǒng)激發(fā)的磁場,首先要對磁場的對稱性做定性分析,以便找到一條合適的閉合積分路徑,使得在這條路徑上的磁感應(yīng)強度具有某種對稱性,能夠從積分符號中被釋放出來。否則,作為一個未知的函數(shù),磁感應(yīng)強度被放在積分號內(nèi)是無法求出其積分的,這種情況其實與利用高斯定律求解電荷系統(tǒng)激發(fā)的電場是類似的。

最簡單的一種電流系統(tǒng)是一根無限長的載流直導(dǎo)線,這種電流系統(tǒng)具有以直導(dǎo)線為對稱軸的軸對稱電流分布。具有這種對稱性的電流系統(tǒng)激發(fā)的磁場,其空間分布也具有同樣的對稱性。

如下左圖所示,以載流直導(dǎo)線為軸,電流的流向為正方向,建立柱坐標(biāo)系。由于導(dǎo)線為無限長,當(dāng)空間點沿著軸的方向移動時,物理狀況不會發(fā)生改變,因此,磁感應(yīng)強度必定與  無關(guān);從垂直于軸的截面上看,當(dāng)空間點沿著以導(dǎo)線為中心的圓周移動時,物理狀況也是相同的,這導(dǎo)致磁感應(yīng)強度與  無關(guān)。于是,一根無限長載流直導(dǎo)線激發(fā)的磁場僅僅是離開導(dǎo)線的距離  的函數(shù)。

接下來看磁感應(yīng)強度的方向。由畢奧—薩伐爾定律可知,一個電流元激發(fā)的磁感應(yīng)強度,其方向總是在以電流的延長線為軸心的圓周的切線方向。整根直電流激發(fā)的磁場自然也就繼承了這個特征,所激發(fā)的磁場必定沿著以導(dǎo)線為軸心的圓周的切線方向  。

基于以上對稱性分析,在垂直于導(dǎo)線的截面上,選擇以導(dǎo)線為圓心,過場點的圓周為積分環(huán)路,路徑的走向與電流的流動方向一致,如上右圖所示。在積分路徑的這種選擇下,路徑微分的方向沿著  方向,與磁場同向;在整個閉合路徑上,磁感應(yīng)強度的數(shù)值是一個常數(shù)。于是,沿著這條路徑的環(huán)路積分由此得到磁感應(yīng)強度的數(shù)值:結(jié)合磁場的方向,得到所要求的磁感應(yīng)強度:
結(jié)果發(fā)現(xiàn),磁感應(yīng)強度的表達式與使用對畢奧—薩伐爾定律直接求積分的方法 (參見 “載流直導(dǎo)線激發(fā)的磁場” 一文) 得到的結(jié)果一致。

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