【原】引力場中的運(yùn)動

cosmos2062 2024-12-05 發(fā)布于廣東

展開全文

利用試探粒子在引力場中的運(yùn)動狀態(tài)，可以推測物質(zhì)在天體內(nèi)部的分布方式。

在均勻球體的引力場問題中，我們得到了一個球形物體激發(fā)的引力場的空間分布： $\begin{equation}\notag \vec{g}=\left\{ \begin{aligned} &-\frac{GM}{r^2}\hat{r}&r>R\\ &-\frac{GM(r)}{r^2}\hat{r}&r< R \end{aligned} \right. \end{equation}$ 利用引力場的空間分布，可以求解處于其中的試探粒子的運(yùn)動。

設(shè)想有一個質(zhì)量為 $m$ 的試探粒子，在一個球形引力源激發(fā)的引力場中，該粒子以半徑為 $r$ 的圓軌道繞引力源的中心運(yùn)動。

根據(jù)圓軌道運(yùn)動的知識，這個試探粒子必定受到向心力的作用。在引力場中，向心力由萬有引力提供： $\begin{equation}\notag \frac{mv^2}{r}=mg \end{equation}$ 由于引力場強(qiáng)度的表達(dá)式與空間區(qū)域有關(guān)，因此，將空間劃分為兩個區(qū)域，分別進(jìn)行討論是方便的。

在 $r>R$ 的區(qū)域，由引力場強(qiáng)度的表達(dá)式可以得到： $\begin{equation}\notag \frac{mv^2}{r}=\frac{GMm}{r^2} \end{equation}$ 由此得到試探粒子做圓軌道運(yùn)動的速率：

\begin{equation}\tag 1 v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \end{equation}

這個結(jié)果與引力源的全部質(zhì)量集中在球心時的情況相同，是我們預(yù)料之中的結(jié)果。

在 $r<R$ 的區(qū)域，引力場強(qiáng)度只與 $r$ 內(nèi)的質(zhì)量有關(guān)： $\begin{equation}\notag \frac{mv^2}{r}=\frac{GM(r)m}{r^2} \end{equation}$ 由此得到圓軌道運(yùn)動的速率：

\begin{equation}\tag 2 v=\sqrt{\frac{GM(r)}{r}} \end{equation}

如果引力源內(nèi)部的物質(zhì)均勻分布，

\begin{equation}\notag M(r)=\frac{Mr^3}{R^3} \end{equation}

則 (2) 式可以進(jìn)一步被寫成：

\begin{equation}\tag 3 v=r\sqrt{\frac{GM}{R^3}} \end{equation}

現(xiàn)實(shí)中的引力源當(dāng)然不會是均勻分布的，在萬有引力的作用有明顯效果的領(lǐng)域，也就是在天體的層級上，引力源的質(zhì)量甚至是未知的。在這種情況下，通過上述 (1) ～ (3) 式求天體運(yùn)動速率的想法是毫無意義的。

在實(shí)際的應(yīng)用中，通常是先利用某種方法測出引力源內(nèi)部和外部的天體繞中心運(yùn)動的速率，從而反推出引力源的質(zhì)量分布特征。為了實(shí)現(xiàn)這個目標(biāo)，需要將 (2) 式改寫成如下形式： $\begin{equation}\notag M(r)=\underset{\hspace{-2em}0}{\overset{r}\int}4\pi u^2\rho{\rm d}u=\frac{v^2r}{G} \end{equation}$ 并在等式的兩邊對 $r$ 求一階導(dǎo)數(shù)：

\begin{equation}\tag 4 M’(r)=4\pi r^2\rho=\frac{(v^2r)'}{G} \end{equation}

利用 (4) 式，可以推測引力源的質(zhì)量分布。

天文學(xué)家將這種想法廣泛地應(yīng)用于對星系的旋轉(zhuǎn)曲線進(jìn)行理論分析。所謂旋轉(zhuǎn)曲線，指的是星系中各種天體繞中心的運(yùn)動速率隨與中心距離的函數(shù)關(guān)系。典型的旋轉(zhuǎn)曲線有這樣的特征：在靠近中心的一個不大的區(qū)域，天體的速率從零很快地上升，之后，在一個廣闊的區(qū)域內(nèi)，天體的速率保持一個近似的常數(shù)。如下圖的圓點(diǎn)和實(shí)線所示，圓點(diǎn)是天文觀測的結(jié)果，實(shí)線是最佳擬合曲線。

作為一個應(yīng)用實(shí)例，下面在最粗略的近似下分析旋轉(zhuǎn)曲線的形狀，從而得出星系的質(zhì)量分布特征。在 $0<r<a$ 這個范圍內(nèi)，天體的運(yùn)動速率幾乎以一個較高的斜率直線上升： $v\propto r$ ，根據(jù) (4) 式，在這個區(qū)域內(nèi)，質(zhì)量的分布是密度較高的均勻分布；類似地，在 $a<r<b$ 這個區(qū)域，質(zhì)量的分布也是均勻的，但密度明顯下降了；在 $r>b$ 這個區(qū)域，天體的運(yùn)動速率有緩慢的下降，作為最粗略的近似，可以認(rèn)為是一個常數(shù)。將常數(shù)速率代入 (4) 式得到 $\begin{equation}\notag \rho=\frac{v^2}{4\pi Gr^2}\propto \frac{1}{r^2} \end{equation}$

測量天體的旋轉(zhuǎn)速率是確定引力源質(zhì)量分布的一種方法。除了通過引力效應(yīng)這種方法，天文學(xué)家還使用測光的方法確定引力源的質(zhì)量分布。天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)，天體的發(fā)光能力 (稱為光度) 與它的質(zhì)量有一定的關(guān)聯(lián)性，通過測量天體的光度可以估算它的質(zhì)量。在上面的圖中，淺色線是通過測量星系的光度分布推算出質(zhì)量的分布后得到的旋轉(zhuǎn)曲線，它比由引力效應(yīng)得到的旋轉(zhuǎn)曲線要低許多。另一方面，由 (2) 式得， $M(r)～rv^2$ ，據(jù)此由圖中可以看出，在觀測所及的范圍內(nèi)，總質(zhì)量與發(fā)光物質(zhì)質(zhì)量的比值高達(dá)10。這顯示，星系中含有大量用光學(xué)方法探測不到的質(zhì)量，這一類物質(zhì)被稱為暗物質(zhì)。

暗物質(zhì)與其他物質(zhì)沒有電磁相互作用，不可能通過接收電磁波的手段探測到它們的存在。暗物質(zhì)的研究位列物理學(xué)、宇宙學(xué)和天文學(xué)的前沿研究領(lǐng)域。