(2025北京四中期中)已知，如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ABC=45°，點(diǎn)D在BC的延長線上，點(diǎn)E在CB的延長線上，DC=BE，連接AE,過點(diǎn)C作CF⊥AE于點(diǎn)F，CF交AB于點(diǎn)G，連接DG

(1)求證：∠AEB=∠ACF；

(2)求等式表示CG、DG和AE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(1略

(2)過點(diǎn)C作CN⊥AB于點(diǎn)N交AE于點(diǎn)M,

由CA=CB，∠BCM=∠ACM，CM=CM，得△ACM≌△BCM，得∠CAM=∠CBM，

∠CAM+∠E=90°得∠CBM+∠E=90°，∠GCB+∠E=90°，得∠GCB=∠MBC,∠GBC=∠MCB=45°,CB=BC得△BCG≌△CBM，得CG=BM

∠EBM=180°-∠CBM=180°-∠CAM=180°-(90°-E)得∠EBM=90°+∠E

∠BCG=90°+∠ACG=90°+∠E,于是∠DCG=∠EBM，又CG=BM,得△CDG≌△BEM，

得ME=DG于是AE=AM+EM得AE=CG+DG

點(diǎn)評(píng)：題目第二問確實(shí)不容小覷，有一定的難度，大部分同學(xué)還真解決不了.線段和差關(guān)系的證明需截長補(bǔ)短，題目運(yùn)用三次全等才得證，難度不小.

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