 在之前，我們已經(jīng)聊過了不少有關(guān)于橢圓曲線的知識(shí)了，其實(shí)，對于橢圓曲線來說，除了我們之前非常熟悉的魏爾斯特拉斯形式，其實(shí)，還有別的形式，本文來聊得呢，就是其他的形式，那么我們先來回顧一下，有關(guān)于橢圓曲線的知識(shí)。 前置知識(shí)魏爾斯特拉斯曲線魏爾斯特拉斯橢圓曲線是橢圓曲線的一種標(biāo)準(zhǔn)形式，通常用于數(shù)學(xué)和密碼學(xué)中。橢圓曲線是一個(gè)平面代數(shù)曲線，具有很多有趣的數(shù)學(xué)性質(zhì)，廣泛應(yīng)用于數(shù)論、代數(shù)幾何以及信息安全，這也是我們熟知的形式，具體標(biāo)準(zhǔn)形式如下 這里，，其中是一個(gè)域，對于密碼學(xué)來說，一般我們?nèi)∷財(cái)?shù)域，或者的域，并且，這個(gè)要想成為一個(gè)橢圓曲線，這里需要滿足 否則，曲線會(huì)有奇點(diǎn)，簡單理解，就是曲線自身存在相交的點(diǎn)，這個(gè)其實(shí)不屬于本文的內(nèi)容，我們不過多討論，感興趣的讀者，可以自行了解下。 蒙哥馬利曲線(Montgomery Curves)除了，上面，我們常見的 魏爾斯特拉斯形式的曲線呢，在密碼學(xué)當(dāng)中，還經(jīng)常用到另一種曲線形式，也就是蒙哥馬利曲線，具體的標(biāo)準(zhǔn)形式如下 這一種形式是由Peter Montgomery在1987年引入，特別適用于高效實(shí)現(xiàn)橢圓曲線離散對數(shù)問題（ECDLP）的算法，例如用于Diffie-Hellman密鑰交換。 這個(gè)曲線，我們其實(shí)是可以把他轉(zhuǎn)換為魏爾斯特拉斯形式的，這里，簡單推導(dǎo)一下吧[1]。 這里，我們需要首先，把B給消除掉，這里，我們需要做一個(gè)換元，令 之后，我們帶入蒙特卡羅曲線，可以得到 然后，觀察到，這里我們需要降低次數(shù)，因?yàn)槲籂査固乩骨€，沒有二次項(xiàng)，因此我們需要再做一次換元，也就是 然后，帶入，可以得到 然后，化簡一下，可以得到 也就是，對應(yīng)魏爾斯特拉斯當(dāng)中，我們令 這樣，就可以了。 愛德華曲線(Edwards Curves)對于，愛德華曲線呢，他的標(biāo)準(zhǔn)形式是 或者，有他的簡化形式，也就是 這種曲線由Harold Edwards在2007年首次提出。 Curve25519[3]Curve25519 是一種在橢圓曲線密碼學(xué)（ECC）中使用的橢圓曲線，提供 128 位的安全性（256 位密鑰大?。?，并設(shè)計(jì)用于橢圓曲線迪菲－赫爾曼（ECDH）密鑰協(xié)商方案。最初的 Curve25519 論文將其定義為一種迪菲－赫爾曼（DH）函數(shù)。丹尼爾·J·伯恩斯坦（Daniel J. Bernstein）隨后提出將 Curve25519 作為基礎(chǔ)曲線的名稱，而將 X25519 作為 DH 函數(shù)的名稱。 這個(gè)曲線，具體的形式是 然后，對于素?cái)?shù)域，所選擇的素?cái)?shù)為 注意到，紅色的部分，也就是25519的由來，如果我們令基點(diǎn)的x=9，我們可以得到一個(gè)階為 的循環(huán)子群。 EdDSA終于到了，本篇文章的主題了，對于EdDSA的簽名算法，我們采用的是愛德華曲線，具體形式如下 這個(gè)q和curve25519是一個(gè)q， 也是，這個(gè)曲線，和我們之前提到的curve25519是雙有理等價(jià)的，具體代換是[2] 對于這個(gè)簽名算法呢，其實(shí)也包含三個(gè)部分，分別是密鑰生成，簽名算法和驗(yàn)簽算法。 密鑰生成首先，隨機(jī)均勻的選擇一個(gè)k(這個(gè)作為種子)，然后計(jì)算H(k), 這里H是哈希函數(shù)，然后將H(k)的最后b有效比特，轉(zhuǎn)換成為一個(gè)整數(shù)，作為, 這里s是私鑰，然后對于公鑰 其中，B是橢圓曲線的基點(diǎn)。 簽名算法這里，我們先計(jì)算r，具體如下 然后，和其他橢圓曲線簽名方案類似，我們計(jì)算。 之后，我們需要計(jì)算簽名 其中是橢圓曲線的階。 驗(yàn)簽算法我們收到簽名(R, S)，首先判斷S的范圍，是否在之內(nèi)，如果不在，驗(yàn)簽失敗。 然后，我們驗(yàn)證 是否相等，如果相等，則驗(yàn)簽成功。 這里，我們簡單驗(yàn)證一下正確性吧，我們有 所以，這個(gè)是正確的。 總結(jié)我們只是改了橢圓曲線對應(yīng)的曲線，就得到了不同的結(jié)果，當(dāng)然，曲線的選擇還有很多，后面我們有機(jī)會(huì)再聊。快樂的時(shí)光過得特別快，又到了說再見的時(shí)候了，咱們下次再見。 參考資料
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