【原】引力勢

cosmos2062 2024-12-13 發(fā)布于廣東

展開全文

引力源在空間中激發(fā)的引力勢是一個純粹反映引力源性質(zhì)的物理量。

前面曾經(jīng)講到，萬有引力是保守力，當(dāng)粒子受保守力作用時(shí)，可以引入相互作用勢能的概念。根據(jù)相互作用勢能的定義式， $\begin{equation} U(r)=\hspace{-1em}\overset{\quad\ \infty}{\underset{r}{\int}}\vec{f}\cdot\mathrmbh51tjlzh\vec{r} \end{equation}$ 一個試探粒子在受 (另一個粒子的) 萬有引力作用時(shí)，其引力勢能

$\begin{equation} U(r)=-\frac{GMm}{r}\notag \end{equation}$

前面曾經(jīng)對球形引力源引入了引力場強(qiáng)度 $\vec{g}$ 的概念，它被定義為每單位質(zhì)量的試探粒子所受的萬有引力： $\vec{f}=m\vec{g}$ ，這個定義同樣可以用到具有任意形狀和任意質(zhì)量分布的引力源。對一個任意的引力源，把這個定義式代入勢能表達(dá)式 (1) 式中： $\begin{equation}\notag U(r)=m\hspace{-1em}\overset{\quad\ \infty}{\underset{r}{\int}}\vec{g}\cdot\mathrmbh51tjlzh\vec{r} \end{equation}$ 結(jié)果發(fā)現(xiàn)，與粒子型引力源的情況一樣，試探粒子的引力勢能與它自身的質(zhì)量成正比。

引力勢能反映的是引力源和受力粒子之間的相互作用性質(zhì)，如果在這個勢能表達(dá)式中將試探粒子的質(zhì)量去掉，得到的結(jié)果將是一個純粹反映引力源性質(zhì)的物理量：

$\begin{equation}\tag2 V(r)=\hspace{-1em}\overset{\quad\ \infty}{\underset{r}{\int}}\vec{g}\cdot\mathrmbh51tjlzh\vec{r} \end{equation}$ 把這個物理量稱為引力源在空間中激發(fā)的引力勢。定義了引力勢后，一個質(zhì)量為 $m$ 的粒子在引力場中的引力勢能就可以寫成 $\begin{equation}\notag U(r)=mV(r) \end{equation}$ 從數(shù)值上看，引力勢等于單位質(zhì)量的引力勢能，在國際單位制中，計(jì)量單位是焦/千克( ${\rm J·kg^{-1}}$ )。

需要注意的是，在引力勢的定義式 (2) 式中，我們設(shè)定引力勢的零點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)，但是，這并不是必須的。與引力勢能的情況相似，引力勢的零點(diǎn)可以設(shè)在空間中的任意點(diǎn)，但是，這樣的零點(diǎn)設(shè)定將使引力勢的最終表達(dá)式變得復(fù)雜。

在討論保守力問題時(shí)，假設(shè)作為引力源的物體是一個粒子，其他粒子在它的引力場中的勢能，以及它在空間中激發(fā)的引力勢，自然就很簡單。如果引力源不是一個粒子，而是一個有體積和質(zhì)量分布的物體，就需要對引力場、引力勢能和引力勢的表達(dá)式重新做出推導(dǎo)。

作為一個簡單的實(shí)例，考慮一個質(zhì)量均勻分布的球殼激發(fā)的引力勢。我們在前面已經(jīng)推導(dǎo)過一個均勻球殼激發(fā)的引力場： $\begin{equation}\notag \vec{g}(r)=\left\{ \begin{aligned} &-\frac{GM}{r^2}\hat{r}&r>R\\ &\hspace{1.9em}0&r< R \end{aligned} \right. \end{equation}$ 由引力場的表達(dá)式可知，應(yīng)該將空間劃分成兩個區(qū)域分別討論。在 $r>R$ 的區(qū)域， $\begin{equation}\notag V(r)=-\hspace{-1em}\overset{\quad\ \infty}{\underset{r}{\int}}\frac{GM}{r^2}\mathrmbh51tjlzhr=-\frac{GM}{r} \end{equation}$ 在 $r<R$ 的區(qū)域， $\begin{align}\notag V(r)&=-\hspace{-1em}\overset{\quad\ R}{\underset{r}{\int}}0\cdot\mathrmbh51tjlzhr-\hspace{-1em}\overset{\quad\ \infty}{\underset{R}{\int}}\frac{GM}{r^2}\mathrmbh51tjlzhr \\\ &=-\frac{GM}{R}\notag \end{align}$ 于是，一個均勻球殼激發(fā)的引力勢 $\begin{equation}\notag V(r)=\left\{ \begin{aligned} &-\frac{GM}{r}&r>R\\ &-\frac{GM}{R}&r< R \end{aligned} \right. \end{equation}$ 在上面的定積分表達(dá)式中，為了方便書寫，積分變量和積分上限使用了同一個字母。在今后的推導(dǎo)中，在不引起誤會的情況下，我們會繼續(xù)使用這種書寫方法而不加任何說明，請大家特別留意，并逐漸習(xí)慣這種寫法。

有了均勻球殼的結(jié)果和經(jīng)驗(yàn)，實(shí)心球體的問題就不難解決了。還是像前面那樣，假定球體的質(zhì)量密度只與距球心的距離有關(guān)。有兩種方法推導(dǎo)實(shí)心球體激發(fā)的引力勢分布。

第一種方法是，將實(shí)心球體分割成半徑各不相同的薄球殼層，利用剛剛得到的均勻球殼的引力勢進(jìn)行推導(dǎo)。不過，使用這種方法，會涉及到對引力勢進(jìn)行疊加的問題，因此，還是容后在討論到這個問題時(shí)再細(xì)究吧；

第二種方法是，利用引力勢的定義式直接推導(dǎo)，這需要先給出實(shí)心球體激發(fā)的引力場分布： $\begin{equation}\notag \vec{g}=\left\{ \begin{aligned} &-\frac{GM}{r^2}\hat{r}&r>R\\ &-\frac{GM(r)}{r^2}\hat{r}&r< R \end{aligned} \right. \end{equation}$ 在 $r>R$ 的區(qū)域，引力場強(qiáng)度的表達(dá)式與粒子源的引力場強(qiáng)度表達(dá)式和均勻球殼外部的引力場強(qiáng)度表達(dá)式一樣，得到的引力勢的表達(dá)式自然也就一樣，無需多言；在 $r<R$ 的區(qū)域， $\begin{align}\notag V(r)&=-\hspace{-1em}\overset{\quad\ R}{\underset{r}{\int}}\frac{GM(r)}{r^2}\mathrmbh51tjlzhr-\hspace{-1em}\overset{\quad\ \infty}{\underset{R}{\int}}\frac{GM}{r^2}\mathrmbh51tjlzhr \\\ &=-\hspace{-1em}\overset{\quad\ R}{\underset{r}{\int}}\frac{GM(r)}{r^2}\mathrmbh51tjlzhr-\frac{GM}{R}\notag \end{align}$ 這就是一個質(zhì)量密度按層分布的實(shí)心球體激發(fā)的引力勢在球內(nèi)空間中的分布，其中 $\begin{equation}\notag M(r)=\hspace{-0.3em}\underset{\hspace{-1.8em}0}{\overset{r}\int}\hspace{-0.3em}4\pi\rho u^2{\rm d}u\notag \end{equation}$ 是半徑為 $r$ 的球面內(nèi)的總質(zhì)量，只要給定質(zhì)量密度隨半徑的分布，就可以得到積分的結(jié)果。對于均勻分布的實(shí)心球體，質(zhì)量密度是一個常量，積分的結(jié)果不言自明。余下的細(xì)節(jié)，就交由大家討論吧。