振奮，一個(gè)看似簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)難題取得了巨大突破，加法和乘法的關(guān)系隱藏著許多未解之謎。從 19 世紀(jì)的卡爾·斯特默到如今的赫克托·帕斯滕，數(shù)論學(xué)家們孜孜不倦地試圖揭開這個(gè)數(shù)列背后的秘密：數(shù)列中的質(zhì)因子究竟是如何增長(zhǎng)的，最大質(zhì)因子是否足夠大？通過結(jié)合這兩種技術(shù)，帕斯滕證明了 n2 + 1 數(shù)列的最大質(zhì)因子至少約為 (log(log n))2，顯著提升了喬拉和馬勒在 20 世紀(jì) 30 年代提出的 log(log n) 估計(jì)。

理解令人驚嘆的數(shù)學(xué)對(duì)象—狄拉克δ函數(shù)，一個(gè)偉大且巧妙的設(shè)計(jì)。實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)的方法是使用狄拉克δ函數(shù)。狄拉克δ是一個(gè)特殊的函數(shù)，當(dāng)它與其他函數(shù)進(jìn)行積分時(shí)，會(huì)挑出使其輸入為零的值。然后，利用狄拉克δ的積分為1的性質(zhì)，就得到了使狄拉克δ有用的那個(gè)性質(zhì)。這只是得到狄拉克δ的一種方法，還有許多其他極限函數(shù)滿足相同的積分性質(zhì)。我個(gè)人腦海中有尖峰的圖像，但我對(duì)狄拉克δ的數(shù)學(xué)理解是：狄拉克δ是滿足以下性質(zhì)的特殊對(duì)象。

其次，點(diǎn)積為我們提供了一種定義抽象向量“長(zhǎng)度”的方法。在典型的箭頭表示法中，我們可以用勾股定理來(lái)計(jì)算向量的長(zhǎng)度。根據(jù)點(diǎn)積定義向量的長(zhǎng)度非常有用，因?yàn)樗梢詰?yīng)用于不一定是箭頭的向量。我們希望將向量的長(zhǎng)度定義為它與自身內(nèi)積的平方根。我們必須規(guī)定只有零向量的長(zhǎng)度為零，這意味著如果向量非零，那么它的長(zhǎng)度必須大于零。首先，假設(shè)有一個(gè)正交歸一基，這意味著每個(gè)向量的長(zhǎng)度都是一，并且它們彼此正交，

前面，介紹了量子力學(xué)中的向量空間概念，并引入了態(tài)矢量：粒子的量子態(tài)是用向量空間中的態(tài)矢量表示的。注意，向量空間的維度是構(gòu)成基的向量的數(shù)量。這是一個(gè)數(shù)學(xué)問題，我們可以為量子向量空間增加一個(gè)額外規(guī)則，這個(gè)規(guī)則要求每個(gè)收斂的向量和都必須收斂到向量空間內(nèi)的一個(gè)元素。因此，希爾伯特空間是一個(gè)帶有內(nèi)積的向量空間，其中每個(gè)收斂的和或序列都收斂到向量空間中的一個(gè)元素——這幾乎和我們剛才添加的規(guī)則完全等同！

量子力學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)概念—波函數(shù)，全面描述了系統(tǒng)的量子狀態(tài)。希望你開始明白線性代數(shù)和向量空間更多是關(guān)于結(jié)構(gòu)和模式，而不是關(guān)于你使用的對(duì)象類型——恰好向量空間的這種結(jié)構(gòu)正是我們描述量子世界所需的。很多人常說(shuō)波函數(shù)是一個(gè)向量；盡管函數(shù)可以存在于它們自己的向量空間中（你可以以這種方式構(gòu)建量子力學(xué)），但現(xiàn)在你知道波函數(shù)實(shí)際上代表什么了?？偨Y(jié)一下：在這個(gè)模型中，粒子用向量空間中的向量表示，也稱為量子態(tài)。

量子力學(xué)背后的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)—線性代數(shù)，這才是你首先需要掌握的內(nèi)容。我們知道，經(jīng)典粒子攜帶著物理量，如位置、動(dòng)量和能量。假設(shè)我們確定粒子的能量是E=A，用數(shù)學(xué)對(duì)象 M_A 來(lái)表示粒子。粒子是所有可能結(jié)果的一種線性組合，假設(shè)這些結(jié)果由某種向量表示。這有點(diǎn)難，但如果沿著線性組合的線索推測(cè)，或許線性算子，也就是矩陣，能夠表示物理量。粒子可以表示為某個(gè)向量空間中的向量的線性組合，物理量可以表示為該空間中的線性算子。

讓我們用更通用的形式寫出隱式歐拉方法。隱式方法比顯式方法數(shù)值上更穩(wěn)定，但換來(lái)的代價(jià)是每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)會(huì)漏出一些能量，導(dǎo)致系統(tǒng)表現(xiàn)得像是有阻尼一樣。顯式歐拉法隨著時(shí)間推移振幅會(huì)增大，而隱式方法則相反，振幅隨著時(shí)間減少。我們這么做的目的是希望顯式方法的能量增加可以抵消隱式方法的能量減少。事實(shí)上，顯式歐拉法等同于一階龍格-庫(kù)塔方法，這就是為什么顯式歐拉法中的公式也會(huì)出現(xiàn)在我們對(duì) RK2 的計(jì)算中。

1913年7月，在發(fā)表了他的三部曲的第一篇論文后，玻爾收到了一封來(lái)自索末菲爾德的信，索末菲爾德對(duì)他的原子模型印象深刻，就像盧瑟福一樣，索末菲爾德?lián)牧孔铀枷肱c舊機(jī)械學(xué)的混合似乎起作用了，但仍未能真正理解電子在做什么。索末菲爾德的能量和相應(yīng)的頻率幾乎與玻爾的原子模型的能量相同，唯一的不同是現(xiàn)在的主量子數(shù)是兩個(gè)獨(dú)立量子數(shù)的總和。索末菲爾德解釋了他對(duì)玻爾模型的擴(kuò)展，包括光譜線如何以及分裂的幅度。

電、磁和光的統(tǒng)一，是人類歷史上頭等重要的大事之一，麥克斯韋是如何完成這一壯舉的？該定律指出，如果取一個(gè)曲線dS，計(jì)算與曲線平行的磁場(chǎng)強(qiáng)度，并將所有貢獻(xiàn)相加，也就是說(shuō)，做一個(gè)曲線上的磁場(chǎng)B的線積分，那么它等于穿過曲線dS所包圍的表面的總電流乘以一個(gè)常數(shù)μ_0，這個(gè)常數(shù)我們稱為磁導(dǎo)率。最終，高斯定律成為了麥克斯韋方程組中的一部分。因此，為了使安培定律一致，不僅電流密度會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，時(shí)間變化的電場(chǎng)也會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)。

的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)是起點(diǎn)節(jié)點(diǎn)，標(biāo)記為N。藍(lán)色代表水平翻轉(zhuǎn)，結(jié)束于B節(jié)點(diǎn)，紅色代表垂直翻轉(zhuǎn)，結(jié)束于R節(jié)點(diǎn)。順便提一下，所有的節(jié)點(diǎn)都是它的元素，所以當(dāng)我們說(shuō)N是V4的元素時(shí)，表達(dá)為。所有的循環(huán)群都是阿貝爾群，這自然引出了阿貝爾群家族?；叵胍幌挛覀冎暗腣_4例子，如果R和B是阿貝爾群中的兩個(gè)操作，那么操作R后再操作B，結(jié)果與先操作B再操作R相同，這表示為RB=BR。接下來(lái)是兩個(gè)元素的交換，例如交換元素1和2，平方它意味著。

如果你最近看過任何科技發(fā)布會(huì)，你可能已經(jīng)厭倦了聽到關(guān)于設(shè)備端AI的討論，蘋果智能、個(gè)人智能，隨時(shí)隨地的設(shè)備端AI，谷歌的AI進(jìn)展，Meta的AI內(nèi)置，以及蘋果的智能引擎、微軟的Recall，所有這些似乎都在設(shè)備上運(yùn)行機(jī)器學(xué)習(xí)模型。有趣的是，M3和M3 Pro使用的NPU和Max的一樣大，所以隨著芯片變小，NPU相對(duì)變大。這就引出了我們今天討論的最新加速器——NPU（神經(jīng)處理單元），它是為運(yùn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所需的數(shù)學(xué)運(yùn)算而構(gòu)建的加速器。

數(shù)學(xué)之神—拉馬努金，那些偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，影響數(shù)學(xué)發(fā)展幾百年.斯里尼瓦瑟·拉馬努金（1887–1920），這個(gè)名字與卓越和智慧齊名，是一位印度數(shù)學(xué)家，他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域留下了不可磨滅的印記。拉馬努金對(duì)數(shù)論、橢圓函數(shù)、連分?jǐn)?shù)和模形式的貢獻(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。到1904年，拉馬努金對(duì)數(shù)學(xué)的熱情日益增長(zhǎng)，他已經(jīng)開始進(jìn)行深刻的研究。源自拉馬努金數(shù)學(xué)工作的偽θ函數(shù)在計(jì)數(shù)為黑洞熵貢獻(xiàn)的微觀狀態(tài)中起到了作用。

在廣義相對(duì)論中，空間和時(shí)間是緊密結(jié)合在一起的，但他們希望找到一種方法，將空間和時(shí)間分開，從而能夠描述空間隨著時(shí)間的推移而演化。這兩種方法（最小作用量原理和哈密頓方程）也等效于第三種方法：波前方法，也稱為哈密頓-雅可比方程。波前涵蓋了所有初始動(dòng)量。與粒子不同，粒子的波前在空間中擴(kuò)展并在時(shí)間中傳播，而愛因斯坦的理論的波前則是在一個(gè)無(wú)限維的超空間中擴(kuò)展，在那里每個(gè)點(diǎn)定義了一個(gè)空間幾何。

最好的6本數(shù)學(xué)讀物，點(diǎn)燃你對(duì)數(shù)學(xué)的迷戀，揭示自己存在的本質(zhì)。斯圖爾特的寫作流暢地將數(shù)學(xué)概念的深刻美麗與其在我們周圍世界的實(shí)際應(yīng)用交織在一起，讓讀者深刻意識(shí)到數(shù)學(xué)與日常生活的緊密聯(lián)系。波利亞的作品超越了單純的數(shù)學(xué)教學(xué)；無(wú)論是對(duì)數(shù)學(xué)優(yōu)雅的詩(shī)意重述，還是對(duì)知識(shí)巨人的引人入勝的傳記，或是數(shù)學(xué)常數(shù)歷史的豐富畫卷，這些作品都邀請(qǐng)我們將數(shù)學(xué)不僅作為一門學(xué)科，而作為一個(gè)交織著我們對(duì)宇宙理解的奇妙敘事進(jìn)行接觸。

物理學(xué)最核心的3個(gè)思想：最小作用量原理、洛倫茲變換和度規(guī)張量。輸入是拉格朗日量，輸出定義了作用量。這會(huì)產(chǎn)生歐拉-拉格朗日方程的兩個(gè)項(xiàng)：拉格朗日量對(duì)速度的偏導(dǎo)數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，以及拉格朗日量對(duì)位置的偏導(dǎo)數(shù)。具體來(lái)說(shuō)，愛因斯坦的場(chǎng)方程使用了三個(gè)張量：1）愛因斯坦張量G，它通過度規(guī)張量的導(dǎo)數(shù)描述時(shí)空的曲率，2）能量-應(yīng)力張量T，它描述了宇宙中物質(zhì)和能量的分布，3）度規(guī)張量g，它定義了曲率幾何中長(zhǎng)度和角度的測(cè)量。

數(shù)學(xué)中最核心的概念——數(shù)學(xué)空間，被視為所有數(shù)學(xué)理論的基石。如果一個(gè)度量空間中的每個(gè)柯西序列都收斂到空間內(nèi)的一個(gè)極限，那么這個(gè)度量空間被稱為完備的，確保沒有序列在收斂過程中“逃逸”出空間。這意味著定義域的每個(gè)元素都映射到值域中的一個(gè)元素，并且值域中的每個(gè)元素都是由定義域中的一個(gè)元素映射來(lái)的，從而在定義域和值域的所有元素之間建立了完美的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。最后，緊致空間中的每個(gè)序列都擁有一個(gè)收斂的子序列。

被算法支配的世界——掌握這幾種算法，成為主宰者。貪心算法的思路是，你不斷選擇包裹裝進(jìn)送貨車，但不是隨意選擇，而是從價(jià)值最高的包裹開始。局部移動(dòng)可以是用一個(gè)未選中的包裹替換一個(gè)已選中的包裹。因此在這種情況下，如果一個(gè)包裹比任何其他包裹都大，即使其價(jià)值很高，我們也永遠(yuǎn)不會(huì)選擇這個(gè)包裹！例如，大鄰域搜索就是將局部搜索與約束規(guī)劃（CP）或混合整數(shù)規(guī)劃（MIP）結(jié)合在一起。記憶算法結(jié)合了遺傳算法和局部搜索。

然后今天將為 Miriam 的總數(shù)貢獻(xiàn) k+1 顆糖果，明天也將貢獻(xiàn) k+1 顆糖果，因此這兩天總共為 Miriam 的總數(shù)貢獻(xiàn) 2k+2 顆糖果。如果交換它們，第 k 天將貢獻(xiàn) 0 顆糖果，第 k+1 天將貢獻(xiàn) k+1 顆糖果，因此總共貢獻(xiàn) k+1 顆糖果。因此，他們一開始的糖果總數(shù)相同，每次我們進(jìn)行相鄰交換，對(duì)他們的糖果總數(shù)影響相同，所以我們得出結(jié)論，對(duì)于任何有 15 個(gè)雨天和 15 個(gè)晴天的假期，Miriam 和 Adam 的糖果總數(shù)都是相同的，問題解決。

對(duì)量子物理的透徹理解，建立了整個(gè)現(xiàn)代社會(huì)，徹底改變了我們對(duì)物質(zhì)和世界的認(rèn)識(shí)。雖然我們已經(jīng)理解的量子力學(xué)的基本原理（疊加原理、量子糾纏、量子態(tài)的測(cè)量、不確定性原理、量子隧穿效應(yīng)等）足以開始構(gòu)建量子計(jì)算機(jī)，但隨著我們推進(jìn)理解的邊界，可能會(huì)發(fā)現(xiàn)新的原則或限制，使量子計(jì)算變得不可能或不切實(shí)際。說(shuō)到這里，除了MRI，量子物理對(duì)醫(yī)療技術(shù)也產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。我們對(duì)量子物理的“理解”不足并不妨礙我們構(gòu)建量子計(jì)算機(jī)。

難以置信，最早的計(jì)算機(jī)僅通過非常簡(jiǎn)單的硬件，就實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜的函數(shù)計(jì)算，這是如何做到的？按照我一貫的風(fēng)格，喜歡把所有細(xì)節(jié)研究到最小的程度，我想弄明白那些復(fù)雜的函數(shù)是如何用如此少的硬件實(shí)現(xiàn)的：只有少數(shù)幾個(gè)加法器電路，沒有硬件乘法器，ROM中也沒有空間來(lái)編碼函數(shù)的多項(xiàng)式近似值。讓我最驚訝的是，這個(gè)算法幾乎用于所有的運(yùn)算，包括乘法和除法。通過雙曲函數(shù)，我們可以構(gòu)建更多有用的函數(shù)：sinh, cosh, tanh, arctanh.