如圖1，在四邊形ABCD中，BA=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，連接對(duì)角線BD.

（1）將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接AE，請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖1，并判斷AE與BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）在（1）的條件下，直接寫(xiě)出線段DA、DB和DC之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖2，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且滿足∠AFC=150°，連接FA和FC，探究線段FA、FB和FC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

這是一個(gè)“模型”題，下面重點(diǎn)闡釋這個(gè)“模型”，筆者在本人作品《旋轉(zhuǎn)那些事》中，稱(chēng)第一個(gè)模型為“等邊三角形對(duì)30度模型”，今天詳細(xì)解釋此模型，而且換一個(gè)眼光，盼同學(xué)們徹底掌握此種題型，因?yàn)樽鳂I(yè)里實(shí)際能做全對(duì)的人并非想象中那么多啊，我的想法是“全班對(duì)”額！

圖1與圖2中都存在這一個(gè)等邊三角形ABC，盡管本題沒(méi)有明確說(shuō)出來(lái)，但想來(lái)同學(xué)們一看便知；

接下來(lái)筆者就是依托于這個(gè)等邊三角形ABC構(gòu)造課堂上我經(jīng)常說(shuō)的“共頂點(diǎn)的雙等邊三角形”，我想這樣提及輔助線，應(yīng)該比說(shuō)“旋轉(zhuǎn)”更直觀，容易被大家接受吧！《旋轉(zhuǎn)那些事》中就是用旋轉(zhuǎn)的眼光來(lái)統(tǒng)一這些類(lèi)似的常見(jiàn)模型的，但同學(xué)們的實(shí)戰(zhàn)效果并不盡如人意?。?/p>

下面筆者分別對(duì)圖1與圖2中包含的有關(guān)等邊三角形的兩個(gè)常見(jiàn)模型作證明，其中每個(gè)模型都給出六種證法！同學(xué)們可以比較每種證法及這兩個(gè)模型的“異同”，你會(huì)發(fā)現(xiàn)實(shí)質(zhì)都是一模一樣，當(dāng)然最終還是不可避免地會(huì)回到“旋轉(zhuǎn)那些事”上！

先看圖1中的“等邊三角形對(duì)30度模型”：

方式一（“今日說(shuō)法”：在頂點(diǎn)C處構(gòu)造“共頂點(diǎn)的雙等邊三角形”模型；“旋轉(zhuǎn)本質(zhì)”：繞著點(diǎn)C順轉(zhuǎn)60°）：

第一步：如圖1-1-1，在頂點(diǎn)C處依托CD向右下方構(gòu)造等邊△CDE，與原有的等邊△ABC組成所謂“共頂點(diǎn)的雙等邊三角形模型”；

第二步：如圖1-1-2，由“SAS”立知一組常見(jiàn)的全等三角形，即△ACE≌△BCD，從而順利將目標(biāo)DB轉(zhuǎn)化為EA，這一步即吾所謂的“旋轉(zhuǎn)相似（或全等）一拖二”，即某個(gè)三角形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)位似后必然會(huì)產(chǎn)生另一組相似或全等，同學(xué)們可以用“旋轉(zhuǎn)”的眼光看前面兩張圖體會(huì)其中的韻味；

第三步：如圖1-1-3，利用題中已有的∠ADC=30°推出∠ADE=90°，從而在Rt△ADE中，利用勾股定理即可得到所求三邊的數(shù)量關(guān)系，即DA^2+DC^2=DB^2；

方式二（“今日說(shuō)法”：在頂點(diǎn)C處構(gòu)造“共頂點(diǎn)的雙等邊三角形”模型；“旋轉(zhuǎn)本質(zhì)”：繞著點(diǎn)C逆轉(zhuǎn)60°）：

第一步：如圖1-2-1，在頂點(diǎn)C處依托CD向左上方構(gòu)造等邊△CDE，與原有的等邊△ABC組成所謂“共頂點(diǎn)的雙等邊三角形模型”；

第二步：如圖1-2-2，由“SAS”立知一組常見(jiàn)的全等三角形，即△ACD≌△BCE，從而順利將目標(biāo)DA轉(zhuǎn)化為EB，這一步即吾所謂的“旋轉(zhuǎn)相似（或全等）一拖二”，即某個(gè)三角形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)位似后必然會(huì)產(chǎn)生另一組相似或全等，同學(xué)們可以用“旋轉(zhuǎn)”的眼光看前面兩張圖體會(huì)其中的韻味；

第三步：如圖1-2-3，利用題中已有的∠ADC=30°推出∠BED=90°，從而在Rt△BED中，利用勾股定理即可得到所求三邊的數(shù)量關(guān)系，即DA^2+DC^2=DB^2；

方式三（“今日說(shuō)法”：在頂點(diǎn)A處構(gòu)造“共頂點(diǎn)的雙等邊三角形”模型；“旋轉(zhuǎn)本質(zhì)”：繞著點(diǎn)A順轉(zhuǎn)60°）：

第一步：如圖1-3-1，在頂點(diǎn)A處依托AD向右下方構(gòu)造等邊△ADE，與原有的等邊△ABC組成所謂“共頂點(diǎn)的雙等邊三角形模型”；

第二步：如圖1-3-2，由“SAS”立知一組常見(jiàn)的全等三角形，即△CAD≌△BAE，從而順利將目標(biāo)DC轉(zhuǎn)化為EB，這一步即吾所謂的“旋轉(zhuǎn)相似（或全等）一拖二”，即某個(gè)三角形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)位似后必然會(huì)產(chǎn)生另一組相似或全等，同學(xué)們可以用“旋轉(zhuǎn)”的眼光看前面兩張圖體會(huì)其中的韻味；

第三步：如圖1-3-3，利用題中已有的∠ADC=30°推出∠BED=90°，從而在Rt△BED中，利用勾股定理即可得到所求三邊的數(shù)量關(guān)系，即DA^2+DC^2=DB^2；

方式四（“今日說(shuō)法”：在頂點(diǎn)A處構(gòu)造“共頂點(diǎn)的雙等邊三角形”模型；“旋轉(zhuǎn)本質(zhì)”：繞著點(diǎn)A逆轉(zhuǎn)60°）：

第一步：如圖1-4-1，在頂點(diǎn)A處依托AD向左上方構(gòu)造等邊△ADE，與原有的等邊△ABC組成所謂“共頂點(diǎn)的雙等邊三角形模型”；

第二步：如圖1-4-2，由“SAS”立知一組常見(jiàn)的全等三角形，即△CAE≌△BAD，從而順利將目標(biāo)DB轉(zhuǎn)化為EC，這一步即吾所謂的“旋轉(zhuǎn)相似（或全等）一拖二”，即某個(gè)三角形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)位似后必然會(huì)產(chǎn)生另一組相似或全等，同學(xué)們可以用“旋轉(zhuǎn)”的眼光看前面兩張圖體會(huì)其中的韻味；

第三步：如圖1-4-3，利用題中已有的∠ADC=30°推出∠CDE=90°，從而在Rt△CDE中，利用勾股定理即可得到所求三邊的數(shù)量關(guān)系，即DA^2+DC^2=DB^2；