電機電磁人的學(xué)習(xí)筆記：振動與模態(tài)

cwmail7317 2019-07-07

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1、力學(xué)平衡方程
靜力學(xué)平衡方程：
動力學(xué)平衡方程：

式中，[M]—結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量矩陣；
[C]—為阻尼矩陣；
[K]—結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣；與結(jié)構(gòu)、約束條件、材料等有關(guān)
[u]—結(jié)構(gòu)的位移向量；
{R(t)}—強迫力列陣。
2、振動分析
振動分析是動力學(xué)分析中的一種，振動分析過程中假設(shè)阻尼矩陣為0矩陣，此時不考慮速度項對結(jié)構(gòu)的影響，由此振動分析的動力學(xué)公式變化為：
3、模態(tài)分析
模態(tài)分析是振動分析的特例，也是振動分析的基礎(chǔ)。
模態(tài)分析是振動分析中不受外力的情況（不受外力不是沒有約束）。因此在模態(tài)分析中，振動分析公式的等式右側(cè)為零，即：

因此模態(tài)分析公式為：

其特征方程可以寫為（鑒于高數(shù)其次二階常系數(shù)微分方程解法）

其特征值問題

其中特征值為固有頻率
特征向量為振型
4、為什么說模態(tài)分析是振動分析的基礎(chǔ)
對比模態(tài)分析公式和振動分析公式

從微分方程的角度看，可知模態(tài)方程是振動方程的常系數(shù)形態(tài)，因此模態(tài)方程的解是振動方程的通解，振動方程的解是模態(tài)方程解與特解之和。
因此我們在計算振動時，認(rèn)為系統(tǒng)是線性的，就可以采用模態(tài)疊加法，計算結(jié)構(gòu)這不同激勵下的振動情況。
從物理現(xiàn)象上理解，模態(tài)方程反應(yīng)自身結(jié)構(gòu)特征，其特征值為自身結(jié)構(gòu)的各階固有頻率，特征向量反應(yīng)各階振型。
當(dāng)施加不同頻率的外力時，結(jié)構(gòu)根據(jù)外力頻率和作用點、方向等因數(shù)，激發(fā)出相應(yīng)的固有頻率，而與外力頻率相差較大或者作用方向不同的固有頻率和振型將不被激發(fā)，因此振動方程反應(yīng)特定條件下結(jié)構(gòu)的振動。
5、為什么不考慮阻尼的時候結(jié)構(gòu)一定是做振動的
從模態(tài)公式可以得出，其特征仿真的解為

其中

為虛數(shù)向量。這里的解即為特征值：

根據(jù)這個特征方程的解我們可以得到模態(tài)方程的通解形式為

可以看到模態(tài)方程的解是一個關(guān)于u關(guān)于t的正余弦的代數(shù)和，也就是說位移u隨著時間t的變化為各中頻率下正余弦的振動之和。
剛才已經(jīng)討論過了，振動方程的解為模態(tài)方程解的特解，因此振動方程的解也一定是各頻率結(jié)構(gòu)振動的過程。
6、結(jié)構(gòu)的頻率和振型VS自由度
結(jié)構(gòu)的頻率和振型的數(shù)量，與結(jié)構(gòu)的自由度的數(shù)量有很大的關(guān)系。
7、什么是結(jié)構(gòu)的自由度
我們通常認(rèn)為一個物體的自由度有6個，三個方向的平動和三個軸的轉(zhuǎn)動，這是建立在這個物體是剛體的前提下，注意剛體是沒有震動問題的。
在振動分析中，我們認(rèn)為結(jié)構(gòu)體非剛體，才來計算他的振動特性。這里要注意到所選單元的特性問題：
實體單元：節(jié)點上三個自由度，無轉(zhuǎn)動自由度，彎曲是通過單元的拉伸和壓縮排布實現(xiàn)的（實體單元的面必須是平面，可以做拉壓變形，不能彎曲）；這可能是造成自由模態(tài)是前六階自由度出現(xiàn)非零項的原因。
梁殼單元：節(jié)點上六個自由度，具備轉(zhuǎn)動自由度，在做振動分析時，可以根據(jù)結(jié)構(gòu)特點，盡可能選擇這種單元進行振動分析，會更為準(zhǔn)確。
自由度與頻率和振型

有多少個自由度?有多少個頻率和振動形式
8、模態(tài)的階數(shù)
結(jié)構(gòu)在不同方向剛度大小決定了這些方向發(fā)生振動的難易度,按照由易到難結(jié)構(gòu)固有頻率由低到高,對應(yīng)的,分別稱為一階\二階\三階模態(tài)等等
模態(tài)的階數(shù)與物體振動的振型有關(guān)

約束模態(tài)下的一階模態(tài)

約束模態(tài)下的二階模態(tài)

約束模態(tài)下的三階模態(tài)

對于這種一端約束的長直梁結(jié)構(gòu)，X和Y方向的剛度相似，Z方向最不容易變形，因此一階、二階、三階模態(tài)分別有兩個振型，即X、Y方向各一個，固有頻率也非常接近。
再看一個框架的約束模態(tài)分析的結(jié)果。
一階模態(tài)

二階模態(tài)

對于這個框架結(jié)構(gòu)，Z方向的剛度最弱，因此一階模態(tài)中，最低頻率時的振型為結(jié)構(gòu)在Z方向上下擺動；Y方向的剛度略強于Z方向，因此一階模態(tài)中振動的模態(tài)略高與Z方向的振動；最強的是X軸方向的扭轉(zhuǎn)，在一階振動中振動的頻率更高。二階模態(tài)與一階模態(tài)的振型相似，特點是變形的“波長”比一階模態(tài)短（是否是由于頻率增加導(dǎo)致）。
9、自由模態(tài)與約束模態(tài)
模態(tài)的計算可以根據(jù)情況分為自由模態(tài)和約束模態(tài)兩種。自由模態(tài)是指物體在無約束狀態(tài)下的模態(tài)形式；約束模態(tài)指的是在一定的約束狀態(tài)下進行模態(tài)計算得到的模態(tài)形式。
自由模態(tài)適用于對飛機、火箭等處于自由空間中，無約束條件的物體。
約束模態(tài)適用于處于某約束條件下的物體，如發(fā)動機、電子設(shè)備等
在進行振動分析時，需要根據(jù)實際條件選擇相應(yīng)的模態(tài)分析結(jié)果。因為，從公式上分析，兩種模態(tài)采用的公式雖然相同，

但是，由于約束條件會影響到公式中的剛度矩陣K，因此兩種情況屬于各自的分析方程，并不存在誰是誰的子集的說法。從計算的結(jié)果也可以看出，對同一個結(jié)構(gòu)進行自由模態(tài)和約束模態(tài)兩種分析，得到的頻率結(jié)果如下：
自由模態(tài)
約束模態(tài)
頻率（HZ）
頻率（HZ）
1.
0.
1.
332.24
2.
0.
2.
864.6
3.
0.
3.
1093.5
4.
5.3667e-003
4.
2042.3
5.
6.2625e-003
5.
3151.9
6.
9.7366e-003
6.
3723.7
7.
1825.2
7.
6526.8
8.
1830.8
8.
6920.2
9.
3022.9
9.
8003.3
10.
3641.4
10.
8630.8
11.
4111.4
11.
8857.5
12.
5651.2
12.
9036.4
13.
5717.2
13.
10686
14.
8127.7
14.
12284
15.
8309.3
15.
13651
16.
8464.6
16.
13960
17.
9246.6
17.
14680
18.
12377
18.
14682
19.
13387
19.
17181
20.
13481
20.
17380
21.
13885
21.
21374
22.
14529
22.
22137
23.
14626
23.
23432
24.
14677
24.
23536
25.
17302
25.
24241
26.
20922
26.
27602
27.
21755
27.
28934
28.
22598
28.
30604
29.
22682
29.
30769
30.
22882
30.
31324
31.
23002
31.
31363
32.
26790
32.
33236
33.
28164
33.
34715
34.
28233
34.
36497
35.
28833
35.
36955
36.
29749
36.
38480
37.
31100
37.
39676
38.
31699
38.
42091
39.
34127
39.
43285
40.
34185
40.
43390
41.
35810
41.
44295
42.
35920
42.
45883
43.
37367
43.
47092
44.
37462
44.
48070
45.
39477
45.
48702
46.
41425
46.
52871
47.
43456
47.
54406
48.
43758
48.
56487
49.
45453
49.
57633
50.
45589
50.
58074
51.
47310
51.
59229
52.
47735
52.
60193
53.
48231
53.
61697
54.
48702
54.
64474
55.
51246
55.
65524
56.
52584
56.
66077
57.
54793
57.
66948
58.
56630
58.
69654
59.
57808
59.
70123
60.
58839
60.
71060
61.
59245
61.
71179
62.
59451
62.
76115
63.
62306
63.
77100
64.
64812
64.
79752
65.
65455
65.
82274
66.
65480
66.
82813
67.
67267
67.
84218
68.
69372
68.
86230
69.
69529
69.
86597
70.
70262
70.
87241
71.
70866
71.
89156
72.
74168
72.
89296
73.
74198
73.
90918
74.
76332
74.
92478
75.
76748
75.
94180
76.
80356
76.
95382
77.
81232
77.
97079
78.
82587
78.
98411
79.
83374
79.
1.0269e+005
80.
83858
80.
1.042e+005
81.
84477
81.
1.0661e+005
82.
88084
82.
1.0817e+005
83.
88507
83.
1.0904e+005
84.
89629
84.
1.0917e+005
85.
90681
85.
1.1024e+005
86.
92772
86.
1.1181e+005
87.
93553
87.
1.119e+005
88.
96413
88.
1.1338e+005
89.
97145
89.
1.1404e+005
90.
98789
90.
1.1553e+005
91.
99209
91.
1.1577e+005
92.
1.0022e+005
92.
1.1933e+005
93.
1.0242e+005
93.
1.1954e+005
94.
1.0651e+005
94.
1.1981e+005
95.
1.0693e+005
95.
1.2328e+005
96.
1.072e+005
96.
1.2556e+005
97.
1.0864e+005
97.
1.258e+005
98.
1.0912e+005
98.
1.2749e+005
99.
1.11e+005
99.
1.2976e+005
100.
1.1209e+005
100.
1.3129e+005
可以看到自由模態(tài)和約束模態(tài)之間無任何對應(yīng)關(guān)系，因為是兩個方程組各自的解。
如果在計算振動時采用模態(tài)疊加法進行分析，如我們之前討論的結(jié)論，振動分析是模態(tài)分析的特解，因此在進行相應(yīng)振動分析時，要采用各自的模態(tài)，才能得到準(zhǔn)確的結(jié)果。
下面以一個長直梁為模型，分別采用自由模態(tài)下的振動激勵、約束模態(tài)下的振動激勵、全模態(tài)法三種諧響應(yīng)分析方法和一個瞬時結(jié)構(gòu)分析進行計算，所加激勵力為10幅值下的振動力，取30HZ的頻率激勵，分別計算結(jié)果如下：
自由模態(tài)法（振動分析時無法加約束）

約束模態(tài)法

全模態(tài)法

瞬態(tài)結(jié)構(gòu)場

對比這幾個仿真結(jié)果可以看出，就振幅的最大值來看，瞬態(tài)結(jié)構(gòu)場計算的結(jié)果和全模態(tài)法比較接近，約束模態(tài)法計算結(jié)果與前兩者在同一數(shù)量級且偏大。自由模態(tài)法無論從振型還是幅值，與三者相差都很大。
我認(rèn)為瞬態(tài)結(jié)構(gòu)場計算的更為準(zhǔn)確（因為其對全微分方程進行直接求解）；全模態(tài)法對全矩陣進行求解，無須選擇模態(tài)階數(shù)，對質(zhì)量矩陣不做簡化，因此計算結(jié)果比較接近瞬態(tài)場的計算結(jié)果，比較可信；采用模態(tài)疊加法是在一定階數(shù)模態(tài)分析基礎(chǔ)上進行疊加得到的（本算例Y方向模態(tài)有效質(zhì)量已經(jīng)達到0.990885），忽略了部分模態(tài)的影響，但是計算速度較快。
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