八年級|“全等三角形”考點(diǎn)精細(xì)解讀

一個大風(fēng)子 2021-10-31

展開全文

13．1命題、定理與證明

知識點(diǎn)1：命題

（1）命題定義：表示判斷性的陳述句叫做命題．

（2）命題的兩層含義：①命題必須是一個完整的句子，通常是一個陳述句，包括肯定句和否定句；②命題必須是對某件事情作出肯定或否定的判斷．

（3）命題的組成：命題是由條件和結(jié)論兩部分組成．條件是已知事項；結(jié)論是由已知事項推出的事項．這樣的命題通?？蓪懗伞叭绻?，那么．．．．．”的形式．

知識點(diǎn)2：命題的分類

（1）命題分為真命題和假命題兩類：

（2）真命題：有些命題，如果條件成立，那么結(jié)論一定成立，像這樣的命題，稱為真命題．

（3）假命題：有些命題，條件成立時，不能保證結(jié)論總是正確，也就是說結(jié)論不成立或不一定成立，像這樣的命題，稱為假命題．

特別提醒

(1)要判斷一個命題是真命題，可以用演繹推理加以論證；

(2)要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可．舉反例是說明一個命題是假命題的常用方法，而所列舉的反例應(yīng)滿足命題的條件，不滿足命題的結(jié)論．

知識點(diǎn)3：定理

（1）基本事實(shí)：人們在長期實(shí)踐中總結(jié)出來的，并作為判斷其他命題真假依據(jù)的真命題．

（2）定理：數(shù)學(xué)中，有些命題可以從基本事實(shí)或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并且可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理．

知識點(diǎn)4：證明及證明的一般步驟

證明：根據(jù)條件、定義以及基本事實(shí)、定理等，經(jīng)過演繹推理，來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫做證明．

13．2三角形全等的判定

知識點(diǎn)1：全等三角形

（1）全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形是全等三角形；

（2）相互重合的頂點(diǎn)是對應(yīng)頂點(diǎn)，相互重合的邊是對應(yīng)邊，相互重合的角是對應(yīng)角；

（3）一個三角形經(jīng)過翻折、平移和旋轉(zhuǎn)等變換得到的新三角形一定與原三角形全等．

特別提醒

1．尋找對應(yīng)元素的規(guī)律：

(1)有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊；

(2)有公共角的，公共角是對應(yīng)角；

(3)有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角；

(4)兩個全等三角形最大的邊是對應(yīng)邊，最小的邊是對應(yīng)邊；

(5)兩個全等三角形最大的角是對應(yīng)角，最小的角是對應(yīng)角．

2．記三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上，字母順序不能隨意書寫．

知識點(diǎn)2：證明全等的方法

（1）基本事實(shí)：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等．簡記為SAS（或邊角邊）；

（2）基本事實(shí)：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等．簡記為ASA（或邊角邊）；

（3）兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等．簡記為AAS（或角角邊）；

（4）基本事實(shí)：三邊分別相等的兩個三角形全等．簡記為SSS（或邊邊邊）；

（5）斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等．簡記為HL（或斜邊直角邊）．

特別提醒

1．書寫證明三角形全等的過程的三個步驟：

①寫出在哪兩個三角形中；②列出三個條件；③寫出全等結(jié)論．

2．應(yīng)用SAS．判定兩個三角形全等時一定要保證相等的角必須是分別對應(yīng)相等的兩邊的夾角，即“兩邊夾一角”，切不可出現(xiàn)“邊邊角”的錯誤；

3．利用三角形全等證明線段或角相等時，先將線段或角放在兩個可能全等的三角形中，再證明這兩個三角形全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等即可得出結(jié)論．

13．3等腰三角形

知識點(diǎn)1：等腰三角形的有關(guān)概念

有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．

特別提醒：

等腰三角形按邊分類討論：

1．當(dāng)?shù)妊切紊婕斑叺膯栴}，且不確定已知的邊是底邊還是腰時，要按照“腰”和“底邊”兩種情況分類討論；

2．要利用三角形三邊關(guān)系來判斷三角形是否存在，把不合題意的情況舍去；

3．等腰三角形的頂角可以是銳角、直角、鈍角，但底角只能是銳角，解題時要特別注意．

知識點(diǎn)2：等腰三角形的性質(zhì)（重點(diǎn)）

1．等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是底邊的垂直平分線；

2．等邊對等角：等腰三角形的兩底角相等，（簡寫成“等邊對等角”）；

3．三線合一：等腰三角形底邊上的高、中線及頂角的平分線互相重合．（簡稱“三線合一”）；

4．底角為30°的等腰三角形邊長的比為1：1：，其面積為 a²(腰長為a)；

5．等腰直角三角形邊長的比為1：1：，其面積為 a²(腰長為a)；

6．其他性質(zhì)

（1）等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；

（2）等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）；

（3）等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a，底邊長為b，則 b<a；

（4）等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則

∠A＝180°﹣2∠B，∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）．

特別提醒：

三線合一的應(yīng)用：

1．“三線合一”是用來證明兩角相等、兩線段相等及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)；

2．“三線合一”不能逆過來用，即：一個三角形中，已知三線中的“二線”重合（如高和角平分線重合），那么不能直接說明這個三角形是等腰三角形．但可以通過三角形全等來證明這個三角形是等腰三角形．

知識點(diǎn)3：等腰三角形的判定

1．兩邊相等的三角形是等腰三角形；

2．等角對等邊：在同一個三角形中兩角相等的三角形是等腰三角形（證明線段相等又一方法）；

3．如果一個三角形一邊上的高、中線和這一條邊所對角的平分線中有任意兩條線互相重合，那么這個三角形是等腰三角形．（備注：這個需要證明）

特別提醒：

1．一般情況下，在同一個三角形中“欲證邊相等先證角相等”，“欲證角相等，先證邊相等”；

2．構(gòu)造等腰三角形的“三種方法”：

（1）“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形，應(yīng)用平行線的性質(zhì)得到角的相等關(guān)系，應(yīng)用等角對等邊得到邊的相等關(guān)系；

（2）“角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形，應(yīng)用的原理是利用ASA判定三角形全等及全等三角形的對應(yīng)邊相等；

（3）應(yīng)用“三角形中角的2倍關(guān)系”構(gòu)造等腰三角形；

3．確定等腰三角形的方法：兩圓一線．

知識點(diǎn)4：等邊三角形的有關(guān)概念及性質(zhì)

1．等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形．

2．等邊三角形的性質(zhì)：

（1）等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°；

（2）等邊三角形也具有“三線合一”的性質(zhì)；

（3）等邊三角形的面積為 a²(邊長為a) ．

知識點(diǎn)5：等邊三角形的判定

1．三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

2．三個角都相等的三角形是等邊三角形；

3．有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．

13．4尺規(guī)作圖

知識點(diǎn)1：尺規(guī)作圖

1．尺規(guī)作圖的定義：只能使用圓規(guī)和沒有刻度的直尺（有刻度的直尺不得使用刻度的度量功能）這兩種工具作幾何圖形的方法稱為尺規(guī)作圖．

2．基本作圖的定義：最基本、最常用的尺規(guī)作圖，稱為基本作圖．

知識點(diǎn)2：五種基本的尺規(guī)作圖

（1）作一條線段等于已知線段；

（2）作一個角等于已知角；

（3）作已知角的平分線；

（4）經(jīng)過一已知點(diǎn)作已知直線的垂線；

（5）作已知線段的垂直平分線．

13．5逆命題與逆定理

知識點(diǎn)1：互逆命題

1．在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．

2．如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題就叫做它的逆命題．任何一個命題都有逆命題．

知識點(diǎn)2：互逆定理

如果一個定理的逆命題也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理．

知識點(diǎn)3：線段垂直平分線

1．性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等．

2．逆定理：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．

特別提醒

當(dāng)題目中出現(xiàn)線段垂直平分線的條件時，?？紤]線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，并以此做輔助線，得線段相等；

知識點(diǎn)4：角平分線

1．性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；

2．逆定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．

特別提醒：

當(dāng)題目中出現(xiàn)角平分線的條件時，除考慮角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等外，一定注意：角平分線+平行，可推出等腰三角形，即“雙平出等腰”．

本站是提供個人知識管理的網(wǎng)絡(luò)存儲空間，所有內(nèi)容均由用戶發(fā)布，不代表本站觀點(diǎn)。請注意甄別內(nèi)容中的聯(lián)系方式、誘導(dǎo)購買等信息，謹(jǐn)防詐騙。如發(fā)現(xiàn)有害或侵權(quán)內(nèi)容，請點(diǎn)擊一鍵舉報。

轉(zhuǎn)藏 分享

QQ空間 QQ好友新浪微博微信

獻(xiàn)花（0） +1

來自：一個大風(fēng)子 > 《知識點(diǎn)總結(jié)》

舉報/認(rèn)領(lǐng)