【原 】 幾何的力量，非周期性無(wú)可比擬的美，首次發(fā)現(xiàn)震驚了當(dāng)時(shí)的科學(xué)家
當(dāng)你無(wú)限地以不同的方向重復(fù)放置形狀以完全覆蓋一個(gè)表面時(shí)，就會(huì)形成 彭羅斯瓷磚 或鑲嵌 （ Penrose tiles or tesselations ），但這種圖案永遠(yuǎn)不會(huì)重復(fù)。因?yàn)樗狈?/span>平移對(duì)稱性（ translational symmetry ） ，所以被稱為 非周期性鋪砌（ non-periodic tiling ） 。 英國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家羅杰·彭羅斯（Sir Roger Penrose）因其在宇宙學(xué)和廣義相對(duì)論方面的工作而廣為人知，他在1970年代發(fā)現(xiàn)了三種不同類型的非周期性鋪砌。他并不是發(fā)現(xiàn)這種特殊圖案的第一人，但無(wú)疑是最受歡迎的一位，因?yàn)檫@種圖案以他的名字命名。 最初，數(shù)學(xué)界普遍認(rèn)為自然界不可能存在一種鋪砌方式，其中使用的形狀可以無(wú)限地排列而不重復(fù)自身，即所謂的非周期性鋪砌。這種信念基于長(zhǎng)期的觀察和研究，因?yàn)榇蠖鄶?shù)自然和人造鋪砌都表現(xiàn)出一定的周期性重復(fù)模式。 然而，1964年，哈佛大學(xué)的羅伯特·伯格打破了這一傳統(tǒng)觀點(diǎn)，他首次構(gòu)建了一套包含大約20,426種不同形狀的鋪砌集合，創(chuàng)造了一種鋪砌方式，這種方式能夠覆蓋平面而 不重復(fù)任何圖案 ，從而挑戰(zhàn)并擴(kuò)展了數(shù)學(xué)家們關(guān)于鋪砌的傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)。 “不重復(fù)任何圖案”的意思是，在鋪砌過(guò)程中，無(wú)論鋪砌多大的區(qū)域，所使用的形狀的排列組合方式都不會(huì)完全相同，即沒有一個(gè)特定的排列模式會(huì)在鋪砌中第二次出現(xiàn)。在傳統(tǒng)的、周期性的鋪砌中，一種特定的圖案或形狀排列會(huì)在不同的位置重復(fù)出現(xiàn)，形成一種規(guī)律的、重復(fù)的模式。 開始時(shí)，羅伯特·伯格構(gòu)建的集合需要超過(guò)兩萬(wàn)種不同的形狀來(lái)實(shí)現(xiàn)非周期性鋪砌。然而，隨著時(shí)間的推移，數(shù)學(xué)家們逐漸發(fā)現(xiàn)可以大幅度減少所需形狀的數(shù)量而仍保持鋪砌的非周期性。 幾年后，伯格自己提出了一套一百零四塊瓦片，唐納德·克努特（Donald Knuth）將這個(gè)數(shù)字減少到九十二，拉斐爾·羅賓遜（Raphael Robinson）然后將數(shù)字減少到只有六個(gè)。最終，羅杰·彭羅斯通過(guò)更多的剪切和粘貼成功地將數(shù)字減少到兩個(gè)。約翰·康威（John Conway）將這兩個(gè)形狀命名為“ 風(fēng)箏 （ kites ）”和“ 鏢 （ darts ）”。這兩種形狀都涉及到了黃金分割。 這是一個(gè)令人難以置信的實(shí)現(xiàn)，只有兩個(gè)瓷磚一直延伸到無(wú)限而不重復(fù)，因此它們能夠創(chuàng)造一個(gè)不斷變化的圖案。周期平鋪和非周期平鋪都有無(wú)限多的可能性。 構(gòu)造 彭羅斯 鋪砌的一個(gè)重要特征是 局部的5重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性（ the local 5 fold rotational symmetry） 。 我們?cè)谧匀恢锌吹降拇蠖鄶?shù)晶體，例如糖、雪花、石英或鉆石等，都是對(duì)稱且周期性的。它們傾向于在整個(gè)晶體中保持相同的方向。 人們可以輕松地用三角形、正方形或六邊形周期性地鋪滿一個(gè)平面，但用五邊形卻永遠(yuǎn)做不到。因此，實(shí)現(xiàn)五重對(duì)稱的宣布在當(dāng)時(shí)震驚了科學(xué)家們。 幾何形狀的規(guī)則對(duì)稱性如此明顯地融入我們的大腦，以至于沒有人相信要超越它們。這很有趣，因?yàn)檫@種特殊類型的對(duì)稱性在周期晶體中是不可能的。最重要的是，它已被用來(lái)解釋“準(zhǔn)晶體”的組成。準(zhǔn)晶體代表了一種全新的物質(zhì)狀態(tài)，具有某些晶體的屬性和其他非晶態(tài)物質(zhì)的屬性。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，準(zhǔn)晶體源自于彭羅斯瓦片的三維類比。 五重對(duì)稱最初是在1980年觀察到的，存在于鋁錳合金（Al6Mn）中。此后，在其他材料中也發(fā)現(xiàn)了這類晶體。 并不是每個(gè)人都對(duì)準(zhǔn)晶體的發(fā)現(xiàn)感到信服。因?yàn)樗麄冋J(rèn)為自然法則永遠(yuǎn)不會(huì)允許這種現(xiàn)象。 最重要的是，兩次獲得諾貝爾獎(jiǎng)的著名科學(xué)家林納斯·鮑林（Linus Pauling）曾經(jīng)名言：沒有準(zhǔn)晶體，只有準(zhǔn)科學(xué)家。 他從將五邊形拼湊在一起開始。當(dāng)圍繞前一個(gè)五邊形添加更多五邊形時(shí)，他開始觀察空白空間。但他得到的形狀是一個(gè)可以完全適配到一個(gè)更大的五邊形中的形狀。然后他想到取原始的五邊形并將它們分解成更小的五邊形。 然后所有的空白空間開始隱藏在菱形圖案之下。他再次無(wú)限地細(xì)分圖案，然后得出結(jié)論，只需要菱形、星形以及星形或正義帽（Justice Cap）的一部分，就足以覆蓋任何給定平面上的所有空白空間，而不留下任何未覆蓋的部分。 他認(rèn)為這差不多就是五重對(duì)稱。當(dāng)彭羅斯得到這種圖案時(shí)，他想要簡(jiǎn)化它。他成功地精煉了幾何形狀，將數(shù)量減少到兩種瓦片，一種是細(xì)菱形和“胖”菱形的配對(duì)，另一種是風(fēng)箏形和鏢形的配對(duì)，如下圖所示： 因此，彭羅斯鋪砌是回歸到一個(gè)長(zhǎng)時(shí)間以來(lái)一直讓數(shù)學(xué)家們困惑的數(shù)學(xué)謎題。 P1型由五邊形和另外三種形狀構(gòu)成，一種是細(xì)長(zhǎng)菱形、一種是星形，還有一種是正義帽形。這些形狀必須根據(jù)一些定義好的規(guī)則組合在一起，以覆蓋整個(gè)平面。 P2型只使用兩種不同的形狀，即風(fēng)箏和鏢，以特定比例非周期性地填充平面。這兩種形狀可以從一個(gè)長(zhǎng)對(duì)角線比為1比1/φ的單一菱形中獲得，其中φ是眾所周知的黃金比例。另外，風(fēng)箏也可以看作是兩個(gè)連接的黃金三角形。 在所有由風(fēng)箏和鏢鋪砌的圖案中，每一種七個(gè)頂點(diǎn)類型都無(wú)限次出現(xiàn)。 這意味著如果給定頂點(diǎn)，圍繞它安排風(fēng)箏和鏢有七種可能的方式，如下圖所示。我們也可以稱它們?yōu)?個(gè)頂點(diǎn)鄰域。 風(fēng)箏和鏢鋪砌中形成一個(gè)頂點(diǎn)的所有7種方式 P3型由兩種不同的菱形組成，這些菱形有尖銳的角。同樣，它們必須以避免周期性的方式放置在一起。關(guān)于這些形狀如何組合在一起的規(guī)則，是通過(guò)匹配顏色或其他方式來(lái)強(qiáng)制執(zhí)行的。 該圖案特別構(gòu)造，無(wú)論地形多么多樣，圖案永遠(yuǎn)不會(huì)重復(fù)。 研究表明，黃金比例在所有展示五重對(duì)稱性的對(duì)象的尺寸中扮演著突出的角色。還表明，在所有無(wú)理數(shù)中，黃金比例是最無(wú)理性的，因此，在數(shù)論、搜索算法、函數(shù)的最小化、網(wǎng)絡(luò)理論、某些材料的原子結(jié)構(gòu)以及生物有機(jī)體的生長(zhǎng)中有獨(dú)特的應(yīng)用。——理查德·A·鄧?yán)?，《黃金比例與斐波那契數(shù)列》 彭羅斯鋪砌最重要也是最常見的特征是黃金比例的涉及。 你認(rèn)為黃金比例是如何出現(xiàn)在這個(gè)圖案中的呢？你知道彭羅斯鋪砌的圖案包含一種五重對(duì)稱。黃金比例與五邊形有著根本的關(guān)聯(lián)。更準(zhǔn)確地說(shuō)，它是直接構(gòu)建在它們的構(gòu)造中的。五邊形的對(duì)角線與邊的比率恰好是黃金比例。 另一個(gè)有趣的事實(shí)是，在任何鋪砌中，風(fēng)箏與鏢的數(shù)量比接近黃金比例。因此，黃金數(shù)的無(wú)理性行為提供了證據(jù)，表明該圖案無(wú)論如何都不可能是周期性的。 因?yàn)椋绻麍D案是周期性的，那么它可以表示為兩個(gè)整數(shù)的比例。 從古希臘的畢達(dá)哥拉斯和歐幾里得，到中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家皮薩的萊昂納多和文藝復(fù)興時(shí)期的天文學(xué)家約翰內(nèi)斯·開普勒，再到當(dāng)代科學(xué)家如牛津物理學(xué)家羅杰·彭羅斯，歷代最偉大的數(shù)學(xué)思想家們已經(jīng)在這個(gè)簡(jiǎn)單比例及其性質(zhì)上花費(fèi)了無(wú)數(shù)小時(shí)…… 生物學(xué)家、藝術(shù)家、音樂家、歷史學(xué)家、建筑師、心理學(xué)家，甚至神秘主義者都對(duì)其普遍性和吸引力的基礎(chǔ)進(jìn)行了思考和辯論。事實(shí)上，可以公平地說(shuō)，黃金比例激發(fā)了數(shù)學(xué)史上所有學(xué)科思想家的靈感，這是其他任何數(shù)字所無(wú)法比擬的。 這些非周期性鋪砌也已經(jīng)應(yīng)用于建筑以及裝飾目的。下面展示了一些作為例子的地板鋪砌。 英國(guó)牛津數(shù)學(xué)研究所的鉆石形彭羅斯鋪砌 卡爾頓學(xué)院數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)大樓的彭羅斯鋪砌。 1979年，在《科學(xué)美國(guó)人》雜志文章發(fā)表兩年后，邁阿密大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)士樓的彭羅斯鋪砌。
彭羅斯的學(xué)術(shù)生涯不局限于任何特定領(lǐng)域。他在數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域的研究使他因Penrose-Hawking奇點(diǎn)定理的工作獲得了物理學(xué)諾貝爾獎(jiǎng)。他還因物理學(xué)與意識(shí)問題以及哲學(xué)的某些領(lǐng)域的研究而聞名。
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