希爾伯特非常敬佩前輩康德。在出版紀(jì)念高斯的文集時(shí)，希爾伯特把1898～1899年給學(xué)生授課時(shí)的講稿編寫成講義《幾何基礎(chǔ)》，把康德的這句話作為卷首題詞。

對于數(shù)學(xué)，抽象主要包括兩個(gè)方面的內(nèi)容：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系，圖形與圖形關(guān)系。這就意味著，數(shù)學(xué)的抽象不僅僅要抽象出數(shù)學(xué)所要研究的對象，還要抽象出這些研究對象之間的關(guān)系。與研究對象的存在性相比，研究對象之間的關(guān)系更為本質(zhì)。

人們把現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量抽象為數(shù)，形成自然數(shù)，并且用十個(gè)符號(hào)和數(shù)位進(jìn)行表示，得到了自然數(shù)集。在現(xiàn)實(shí)生活中，數(shù)量關(guān)系的核心是多與少，人們又把這種關(guān)系抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部，這就是數(shù)的大與小。后來，人們又把大小關(guān)系推演為更一般的序關(guān)系。

由大小關(guān)系的度量產(chǎn)生了自然數(shù)的加法，由加法的逆運(yùn)算產(chǎn)生了減法，由加法的簡便運(yùn)算產(chǎn)生了乘法，由乘法的逆運(yùn)算產(chǎn)生了除法。因此，數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)是四則運(yùn)算，這些運(yùn)算都是基于加法的。通過運(yùn)算的實(shí)踐以及對運(yùn)算性質(zhì)的研究，抽象出運(yùn)算法則。為了保證運(yùn)算結(jié)果的封閉性，就實(shí)現(xiàn)了數(shù)集的擴(kuò)張。在本質(zhì)上，數(shù)集的擴(kuò)張是因?yàn)槟孢\(yùn)算：為了減法運(yùn)算的封閉，自然數(shù)集擴(kuò)張為整數(shù)集；為了除法運(yùn)算的封閉，整數(shù)集擴(kuò)張為有理數(shù)集。

數(shù)學(xué)還有第五種運(yùn)算——極限運(yùn)算，涉及數(shù)以及數(shù)的運(yùn)算的第二次抽象。為了很好地描述極限運(yùn)算，需要解決實(shí)數(shù)的運(yùn)算和連續(xù)；為了很好地定義實(shí)數(shù)，需要解決無理數(shù)的定義和運(yùn)算；為了清晰定義無理數(shù)，需要重新認(rèn)識(shí)有理數(shù)。于是，小數(shù)形式有理數(shù)的出現(xiàn)，完全背離了用分?jǐn)?shù)形式表達(dá)有理數(shù)的初衷。這個(gè)初衷就是：有理數(shù)是可以用整數(shù)表示的數(shù)。它表述的現(xiàn)實(shí)背景是：部分與整體的關(guān)系，或者，線段長度之間的比例關(guān)系。

1872年，基于小數(shù)形式的有理數(shù)，康托用基本序列的方法，通過有理數(shù)列的極限定義了實(shí)數(shù)，解決了實(shí)數(shù)的運(yùn)算問題；戴德金用分割的方法，通過對有理數(shù)的分割定義了實(shí)數(shù)，解決了實(shí)數(shù)的連續(xù)性問題。1889年，皮亞諾構(gòu)建算術(shù)公理體系，重新定義了自然數(shù)。1908年，策梅洛給出了集合論公理體系。借助這一系列的工作，人們終于合理地解釋了數(shù)和數(shù)的運(yùn)算，合理地解釋了微積分，構(gòu)建了現(xiàn)代數(shù)學(xué)中關(guān)于數(shù)及其運(yùn)算的理論基礎(chǔ)。

由此可見，雖然人們在很早以前就抽象出了數(shù)以及四則運(yùn)算，抽象出了數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，甚至建立了基于極限運(yùn)算的微積分，但到了20世紀(jì)初，人們才合理地解釋了什么是數(shù)，以及各種關(guān)于數(shù)的運(yùn)算及其法則。

圖形與圖形關(guān)系的抽象，也經(jīng)歷了同數(shù)量與數(shù)量關(guān)系相似的抽象過程?，F(xiàn)實(shí)世界中的圖形都是三維的，幾何學(xué)家研究的對象，諸如點(diǎn)、線、面等都是抽象的產(chǎn)物。歐幾里得用揭示內(nèi)涵的方法給出了點(diǎn)、線、面的定義，比如，點(diǎn)是沒有部分的那種東西。但是，凡是具體的陳述就必然會(huì)出現(xiàn)悖論：按照這樣的定義，應(yīng)當(dāng)如何解釋兩條直線相交必然交于一點(diǎn)呢？兩條直線怎么能交到?jīng)]有部分的那種東西上呢？此外，空氣是沒有部分的，空氣是不是點(diǎn)呢？即便如此，歐幾里得幾何仍然是數(shù)學(xué)抽象的典范，支撐了數(shù)學(xué)兩千多年的發(fā)展，并且成為近代物理學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)，主要表現(xiàn)在伽利略和牛頓的工作中。

隨著數(shù)學(xué)研究的深入，特別是非歐幾何以及實(shí)數(shù)理論的出現(xiàn)，人們需要更加嚴(yán)格地審視傳統(tǒng)的幾何學(xué)。1898年，希爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》這本書中，重新給出了點(diǎn)、線、面的定義：用大寫字母A 表示點(diǎn)，用小寫字母a 表示直線，用希臘字母 表示平面，這完全是符號(hào)化的定義，沒有任何涉及內(nèi)涵的話語。那么，完全沒有內(nèi)涵的定義也能成為數(shù)學(xué)的研究對象嗎？事實(shí)上，希爾伯特更為重要的工作在于他給出的五組公理，這五組公理限定了點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，給出了集合研究的出發(fā)點(diǎn)，構(gòu)建了幾何公理體系。希爾伯特集合公理體系的建立，完成了幾何學(xué)的第二次抽象。在形式上，幾何學(xué)的研究已經(jīng)脫離了現(xiàn)實(shí)。

原文引自史寧中著《數(shù)學(xué)基本思想18講》，北京師范大學(xué)出版社2016年出版，有刪節(jié)。

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